Trị riêng và vector riêng

1. Trị riêng và vector riêng 

1.1. Định nghĩa 

Gọi $A$ là ma trận cấp $n\times n$. Vô hướng $\lambda$ được gọi là trị riêng của $A$ nếu có một vector $\mathbf{x}$ \textit{khác không} sao cho \begin{equation} A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}. \end{equation} Vector $\mathbf{x}$ được gọi là vector riêng của $A$ ứng với $\lambda$.

1.2. Vector riêng của $\lambda$ cấu thành một không gian con

Nếu $A$ là ma trận cấp $n\times n$ với trị riêng $\lambda$, khi đó tập tất cả các vector riêng của $\lambda$, cùng với vector không \begin{align} \{\mathbf{0}\} \cup \{\mathbf{x}:\mathbf{x} \text{ là một trị riêng của } \lambda \} \end{align} là một không gian con của $\mathbb{R}^n$. Không gian con này được gọi là không gian riêng của $\lambda$.

1.3. Trị riêng và vector riêng của một ma trận

Gọi $A$ là ma trận cấp $n\times n$.

• Trị riêng của $A$ là vô hướng $\lambda$ sao cho \begin{equation} \det (\lambda I - A) = 0. \end{equation} 
• Các vector riêng của $A$ ứng với $\lambda$ là các nghiệm khác không của 

\begin{equation} (\lambda I - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}. \end{equation}
Phương trình $\det(\lambda I - A)=0$ được gọi là phương trình đặc trưng của $A$. Hơn nữa, khi khai triển thành dạng đa thức, đa thức \begin{equation} |\lambda I - A | = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+c_1\lambda +c_0 \end{equation} được gọi là đa thức đặc trưng của $A$.

1.4. Cách tìm trị riêng và vector riêng

Gọi $A$ là ma trận cấp $n\times n$.
 

• Xác định phương trình đặc trưng $|\lambda I - A|=0$. Nó sẽ là một phương trình đa thức bậc $n$ theo biến $\lambda$. 
• Tìm nghiệm thực của phương trình đặc trưng. Các nghiệm này là trị riêng của $A$. 
• Với mỗi trị riêng $\lambda_i$, tìm các vector riêng tương ứng với $\lambda_i$ bằng cách giải phương trình thuần nhất $(\lambda_i I - A)\mathbf{x}=\mathbf{0}$. Điều này yêu cầu rút gọn hàng của ma trận cấp $m\times n$. Dạng bậc thang rút gọn phải có ít nhất một hàng là $0$. 

Ví dụ: Tìm trị riêng và vector riêng tương ứng của \begin{align*} A= \left[\begin{matrix} 2&1&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{matrix} \right] \end{align*} Số chiều của không gian riêng của mỗi trị riêng là bao nhiêu? Giải:
Đa thức đặc trưng của $A$ là \begin{align*} |\lambda I - A | = \left| \begin{matrix} \lambda-2&-1&0\\ 0&\lambda-2&0\\ 0&0&\lambda-2 \end{matrix} \right| = (\lambda-2)^3 \end{align*} Do đó, phương trình đặc trưng là $(\lambda-2)^3=0$.
Do vậy, chỉ có trị riêng là $\lambda=2$. Để tìm các vector riêng của $\lambda=2$, giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất đặc trưng bởi $(2I-A)\mathbf{x}=\mathbf{0}$. \begin{align*} 2I-A = \left[ \begin{matrix} 0&-1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{matrix} \right] \end{align*} Điều này suy ra $x_2=0$. Sử dụng các tham số $s=x_1$ và $t=x_3$, ta có thể xác định các vector riêng của $\lambda=2$ có dạng \begin{align*} \mathbf{x} = \left[ \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{matrix} \right] = s \left[ \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right] +t \left[ \begin{matrix} 0\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right] , s \text{ và } t \text{ khác không } \end{align*} Do $\lambda=2$ có hai vector riêng độc lập tuyến tính, số chiều của không gian riêng là 2.
Ví dụ: Tìm trị riêng của \begin{align*} A= \left[\begin{matrix} 1&0&0&0\\ 0&1&5&-10\\ 1&0&2&0\\ 1&0&0&3 \end{matrix} \right] \end{align*} và tìm một cơ sở cho mỗi không gian riêng tương ứng.
Giải: Đa thức đặc trưng của $A$ là \begin{align*} |\lambda I - A | = \left| \begin{matrix} \lambda-1&0&0&0\\ 0&\lambda-1&-5&10\\ -1&0&\lambda-2&0\\ -1&0&0&\lambda-3 \end{matrix} \right| = (\lambda-1)^2 (\lambda-2)(\lambda-3). \end{align*} Do đó, phương trình đặc trưng là $(\lambda-1)^2 (\lambda-2)(\lambda-3)=0$ và các trị riêng là $\lambda_1=1$, $\lambda_2=2$, và $\lambda_3=3$. (Chú ý $\lambda_1$ có bội số là $2$.)
Ta có thể tìm một cơ sở cho không gian riêng của $\lambda_1$ như sau \begin{align*} (1)I-A = \left[ \begin{matrix} 0&0&0&0\\ 0&0&-5&10\\ -1&0&-1&0\\ -1&0&0&-2 \end{matrix} \right] \to \left[ \begin{matrix} 1&0&0&2\\ 0&0&1&-2\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{matrix} \right] \end{align*} Đặt $s=x_2$ và $t=x_4$ tạ có \begin{align*} \mathbf{x} = \left[ \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0s-2t\\ s+0t\\ 0s+2t\\ 0s+t \end{matrix} \right] = s\left[ \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right] + t\left[ \begin{matrix} -2\\ 0\\ 2\\ 1 \end{matrix} \right] \end{align*} Một cơ sở cho không gian riêng tương ứng với $\lambda_1=1$ là \begin{align*} B_1 = \{(0,1,0,0),(-2,0,2,1)\} \end{align*} Cho $\lambda_2=2$ và $\lambda_3=3$, tương tự, ta có các cơ sở không gian riêng \begin{align*} B_2 &= \{(0,5,1,0)\} \\ B_3 &= \{(0,-5,0,1)\} \end{align*} \subsection{Trị riêng của ma trận tam giác} Nếu $A$ là ma trận tam giác cấp $n \times n$ thì khi đó các trị riêng của nó là các phần tử trên đường chéo chính.\\ Ví dụ: Tìm các trị riêng của mỗi ma trận sau (a) $A = \left[ \begin{matrix} 2&0&0\\ -1&1&0\\ 5&3&-3 \end{matrix} \right] $ (b) $B = \left[ \begin{matrix} -1&0&0&0&0\\ 0&2&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&-4&0\\ 0&0&0&0&3 \end{matrix} \right] $\\ Giải: (a) Đa thức đặc trưng của $A$ là \begin{align*} |\lambda I - A | = \left| \begin{matrix} \lambda-2&0&0\\ 1&\lambda-1&0\\ -5&-3&\lambda+3 \end{matrix} \right| = (\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda+3) \end{align*} Do đó, các trị riêng là $\lambda_1=2$, $\lambda_2=1$, và $\lambda_3=-3$ cũng là các phần tử trên đường chéo chính của $A$. (b) Tương tự, các trị riêng là các phần tử trên đường chéo chính $\lambda_1=-1$, $\lambda_2=2$, $\lambda_3=0$, $\lambda_4=-4$, và $\lambda_5=3$. \section{Chéo hóa} \subsection{Định nghĩa ma trận khả chéo} Ma trận $A$ cấp $n\times n$ \textbf{khả chéo} nếu $A$ đồng dạng với một ma trận chéo. Tức là, $A$ khả chéo nếu tồn tại một ma trận khả nghịch $P$ sao cho $P^{-1} AP$ là một ma trận chéo.\\ Ví dụ: Ma trận $ A = \left[ \begin{matrix} 1&3&0\\ 3&1&0\\ 0&0&-2 \end{matrix} \right] $ là khả chéo do $ P = \left[ \begin{matrix} 1&1&0\\ 1&-1&0\\ 0&0&1 \end{matrix} \right] $ có tính chất \begin{align*} P^{-1} AP = \left[ \begin{matrix} 4&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&0&-2 \end{matrix} \right] \end{align*} \subsection{Các ma trận đồng dạng có cùng trị riêng} Nếu $A$ và $B$ là các ma trận đồng dạng cấp $n\times n$ thì khi đó chúng có cùng trị riêng.\\ Ví dụ: Các ma trận $A$ và $D$ đồng dạng. \begin{align*} A=\left[ \begin{matrix} 1&0&0\\ -1&1&1\\ -1&-2&4 \end{matrix} \right] \text{ và } B=\left[ \begin{matrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&3 \end{matrix} \right] \end{align*} Tìm trị riêng của $A$ và $D$.\\ Giải: Do $D$ là ma trận chéo, trị riêng của nó là các phần tử trên đường chéo chính, đó là \begin{align*} \lambda_1 &=1\\ \lambda_2 &=2 \\ \lambda_3 &=3 \end{align*} Hơn nữa, do $A$ đồng dạng với $D$ nên $A$ có cùng trị riêng. Có thể kiểm tra bằng cách sử dụng đa thức đặc trưng của $A$ là \begin{align*} |\lambda I - A| = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3). \end{align*} \subsection{Điều kiện cần cho sự chéo hóa} Ma trận $A$ cấp $n\times n$ khả chéo khi và chỉ khi nó có $n$ vector độc lập tuyến tính.\\ Ví dụ: Ma trận $ A = \left[ \begin{matrix} 1&3&0\\ 3&1&0\\ 0&0&-2 \end{matrix} \right] $ có các trị riêng và vector riêng tương ứng sau \begin{align*} \lambda_1=4, \textbf{p}_1 = \left[\begin{matrix} 1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right]; \lambda_2=-2, \textbf{p}_2 = \left[\begin{matrix} 1\\ -1\\ 0 \end{matrix} \right]; \lambda_3=-2, \textbf{p}_3 = \left[\begin{matrix} 0\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right]; \end{align*} Ma trận $P$ có các cột tương ứng với các vector riêng là \begin{align*} P = \left[ \begin{matrix} 1&1&0\\ 1&-1&0\\ 0&0&1 \end{matrix} \right] \end{align*} Hơn nữa, do $P$ là ma trận tương đương hàng nên các vector riêng $\mathbf{p}_1$, $\mathbf{p}_2$ và $\mathbf{p}_3$ là độc lập tuyến tính. \subsection{Các bước để chéo hóa một ma trận vuông cấp $n\times n$} Gọi $A$ là ma trận cấp $n\times n$. \begin{enumerate} \item Tìm $n$ vector riêng độc lập tuyến tính $\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\cdots,\mathbf{p}_n$ cho $A$ với các trị riêng tương ứng $\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n$. Nếu $n$ vector riêng độc lập tuyến tính không tồn tại thì $A$ không khả chéo. \item Nếu $A$ có $n$ vector riêng độc lập tuyến tính, gọi $P$ là ma trận cấp $n\times n$ mà các cột của nó chứa các vector riêng. Tức là \begin{equation} P =\left[ \mathbf{p}_1 |\mathbf{p}_2| \cdots |\mathbf{p}_n \right]. \end{equation} \item Ma trận chéo $D=P^{-1}AP$ sẽ có các trị riêng $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ trên đường chéo chính của nó (và các vị trí khác bằng 0). Chú ý rằng bậc của các vector riêng sử dụng để cấu thành $P$ sẽ xác định bậc mà trong đó các trị riêng xuất hiện trên đường chéo chính của $D$. \end{enumerate} Ví dụ: Chứng tỏ rằng ma trận $A$ khả chéo. \begin{align*} A = \left[ \begin{matrix} 1&-1&-1\\ 1&3&1\\ -3&1&-1 \end{matrix} \right] \end{align*} Sau đó hãy tìm ma trận $P$ sao cho $P^{-1}AP$ là ma trận chéo.\\ Giải: Đa thức đặc trưng của $A$ là \begin{align*} |\lambda I -A | = \left| \begin{matrix} \lambda-1&1&1\\ -1&\lambda-3&-1\\ 3&-1&\lambda+1 \end{matrix} \right| = (\lambda-2)(\lambda+2)(\lambda-3) \end{align*} Do đó, các trị riêng của $A$ là $\lambda_1=2$, $\lambda_2=-2$ và $\lambda_3=3$. Từ các trị riêng này, ta thu được dạng ma trận bậc thang hàng rút gọn và các vector riêng tương ứng dưới đây \begin{align*} 2I-A &= \left[ \begin{matrix} 1&1&1\\ -1&-1&-1\\ 3&-1&3 \end{matrix} \right] \to \left[ \begin{matrix} 1&0&1\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{matrix} \right], \text{ vector riêng } \left[ \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right] \\ -2I-A &= \left[ \begin{matrix} -3&1&1\\ -1&-5&-1\\ 3&-1&-1 \end{matrix} \right] \to \left[ \begin{matrix} 1&0&-\frac{1}{4}\\ 0&1&\frac{1}{4}\\ 0&0&0 \end{matrix} \right], \text{ vector riêng } \left[ \begin{matrix} 1\\ -1\\ 4 \end{matrix} \right] \\ 3I-A &= \left[ \begin{matrix} 2&1&1\\ -1&0&-1\\ 3&-1&4 \end{matrix} \right] \to \left[ \begin{matrix} 1&0&1\\ 0&1&-1\\ 0&0&0 \end{matrix} \right], \text{ vector riêng } \left[ \begin{matrix} -1\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right] \end{align*} Ma trận $P$ có các cột là các vector riêng thu được \begin{align*} P = \left[ \begin{matrix} 1&1&-1\\ 0&-1&1\\ 1&4&1 \end{matrix} \right] \end{align*} Ma trận này không kì dị, suy ra các vector riêng là độc lập tuyến tính và $A$ khả chéo. Nghịch đảo của $P$ là \begin{align*} P^{-1} = \left[ \begin{matrix} -1&-1&0\\ \frac{1}{5}&0&\frac{1}{5}\\ \frac{1}{5}&1&\frac{1}{5} \end{matrix} \right] \end{align*} và khi đó \begin{align*} P^{-1} A P = \left[ \begin{matrix} 2&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&0&3 \end{matrix} \right] \end{align*} \subsection{Điều kiện đủ cho sự chéo hóa} Nếu ma trận $A$ cấp $n\times n$ có $n$ trị riêng \textit{phân biệt} thì khi đó các vector riêng tương ứng là độc lập tuyến tính và $A$ khả chéo.\\ Ví dụ: Ma trận $A$ có khả chéo không? \begin{align*} A = \left[ \begin{matrix} 1&-2&1\\ 0&0&1\\ 0&0&-3 \end{matrix} \right] \end{align*} Giải: Do $A$ là ma trận tam giác, trị riêng của nó là các phần tử đường chéo chính $\lambda_1=1$, $\lambda_2=0$ và $\lambda_3=-3$. Hơn nữa, do ba giá trị này khác nhau, ta có thể kết luận rằng $A$ khả chéo. \section{Ma trận đối xứng và chéo hóa trực giao} \subsection{Định nghĩa ma trận đối xứng} Ma trận vuông $A$ \textbf{đối xứng} khi và chỉ khi nó bằng với ma trận chuyển vị. \begin{equation} A = A^T \end{equation} Ví dụ: (a) Ma trận $A=\left[ \begin{matrix} 0&1&-2\\ 1&3&0\\ -2&0&5 \end{matrix} \right]$ là ma trận đối xứng. (b) Ma trận $B=\left[ \begin{matrix} 4&3\\ 3&1 \end{matrix} \right]$ là ma trận đối xứng. (c) Ma trận $C=\left[ \begin{matrix} 3&2&1\\ 1&-4&0\\ 1&0&5 \end{matrix} \right]$ là ma trận không đối xứng. \subsection{Trị riêng của ma trận đối xứng} Nếu $A$ là ma trận đối xứng cấp $n\times n$, khi đó các tính chất sau là đúng \begin{enumerate} \item $A$ khả chéo. \item Tất cả trị riêng của $A$ là thực. \item Nếu $\lambda$ là trị riêng của $A$ với bội số $k$, khi đó $\lambda$ có $k$ vector riêng độc lập tuyến tính. Tức là, không gian riêng của $\lambda$ có $k$ chiều. \end{enumerate} Ví dụ: Chứng tỏ rằng ma trận đối xứng $A = \left[ \begin{matrix} a&c\\ c&b \end{matrix} \right]$ khả chéo.\\ Giải: Đa thức đặc trưng của $A$ là \begin{align*} |\lambda I -A| = \left|\begin{matrix} \lambda-a&-c\\ -c&\lambda-b \end{matrix} \right| = \lambda^2 - (a+b)\lambda+ab-c^2 \end{align*} Như một tam thức bậc hai theo $\lambda$, đa thức này có biệt thức $\Delta$ \begin{align*} (a+b)^2-4(ab-c^2) = (a-b)^2+4c^2 \end{align*} Do biệt thức này là tổng hai số hạng bình phương nên nó phải lớn hơn hoặc bằng không. Nếu $(a-b)^2+4c^2=0$ thì $a=b$ và $c=0$, suy ra ma trận $A$ chéo. \begin{align*} A= \left[ \begin{matrix} a&0\\ 0&a \end{matrix} \right] \end{align*} Ngược lại, nếu $(a-b)^2+4c^2>0$ thì đa thức đặc trưng của $A$ có hai nghiệm phân biệt, suy ra $A$ có hai trị riêng. Do vậy, $A$ cũng khả chéo trong trường hợp này.\\ Ví dụ: Tìm trị riêng của ma trận đối xứng \begin{align*} A = \left[ \begin{matrix} 1&-2&0&0\\ -2&1&0&0\\ 0&0&1&-2\\ 0&0&-2&1 \end{matrix} \right] \end{align*} và xác định số chiều của không gian riêng tương ứng.\\ Giải: Đa thức đặc trưng của $A$ là \begin{align*} |\lambda I -A| = \left|\begin{matrix} \lambda-1&2&0&0\\ 2&\lambda-1&0&0\\ 0&0&\lambda-1&2\\ 0&0&2&\lambda-1 \end{matrix} \right| = (\lambda+1)^2(\lambda-3)^2 \end{align*} Do vậy, trị riêng của $A$ là $\lambda_1=-1$ và $\lambda_2=3$. Do mỗi trị riêng đều có bội số $2$ nên các không gian riêng tương ứng cũng có số chiều là 2. Cụ thể, không gian riêng của $\lambda_1=-1$ có một cơ sở $B_1=\{(1,1,0,0),(0,0,1,1)\}$ và không gian riêng của $\lambda_2=3$ có một cơ sở $B_2=\{(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)\}$. \subsection{Định nghĩa ma trận trực giao} Ma trận vuông $P$ được gọi là \textbf{trực giao} nếu nó khả nghịch và nếu \begin{equation} P^{-1} = P^T. \end{equation} Ví dụ: Ma trận $P=\left[ \begin{matrix} 0&1\\ -1&0 \end{matrix} \right]$ trực giao do \begin{align*} P^{-1} = P^T = \left[ \begin{matrix} 0&-1\\ 1&0 \end{matrix} \right] \end{align*} \subsection{Tính chất của ma trận trực giao} Ma trận $P$ cấp $n\times n$ trực giao khi và chỉ khi các vector cột của nó cấu thành một tập trực chuẩn. \subsection{Tính chất của ma trận đối xứng} Gọi $A$ là ma trận đối xứng cấp $n\times n$. Nếu $\lambda_1$ và $\lambda_2$ là các vector phân biệt của $A$, khi đó các vector riêng $\mathbf{x}_1$ và $\mathbf{x}_2$ tương ứng của chúng trực giao. \subsection{Định lý cơ bản của ma trận đối xứng} Gọi $A$ là ma trận cấp $n\times n$. Khi đó $A$ khả chéo trực giao và có trị riêng thực khi và chỉ khi $A$ đối xứng. \subsection{Chéo hóa trực giao một ma trận đối xứng} Gọi $A$ là ma trận đối xứng cấp $n\times n$. \begin{enumerate} \item Tìm tất cả các trị riêng của $A$ và xác định bội số của mỗi trị riêng. \item Với \textit{mỗi} trị riêng của bội số $1$, chọn một vector riêng đơn vị. \item Với mỗi trị riêng của bội số $k \geq 2$, tìm một tập $k$ vector riêng độc lập tuyến tính. Nếu tập này không trực chuẩn, áp dụng quy trình trực chuẩn hóa Gram-Schmidt. \item Tổng hợp bước 2 và 3 tạo ra một tập trực chuẩn $n$ vector riêng. Sử dụng các vector riêng này để hình thành cột của $P$. Ma trận $P^{-1}AP = P^T AP = D$ sẽ là ma trận chéo. (Các phần tử trên đường chéo chính của $D$ là trị riêng của $A$.) \end{enumerate} Ví dụ: Tìm ma trận trực giao $P$ để chéo hóa ma trận \begin{align*} A = \left[ \begin{matrix} 2&2&-2\\ 2&-1&4\\ -2&4&-1 \end{matrix} \right] \end{align*} Giải: \begin{enumerate} \item Đa thức đặc trưng của $A$ là $|\lambda I - A| = (\lambda-3)^2(\lambda+6)$ cho các trị riêng $\lambda_1=-6$ và $\lambda_2 = 3$, $\lambda_1$ có bội số 1 và $\lambda_2$ có bội số 2. \item Một vector riêng cho $\lambda_1$ là $\mathbf{v}_1=(1,-2,2)$ chuẩn hóa thành \begin{align*} \mathbf{u}_1 &= \dfrac{\mathbf{w}_1}{\parallel \mathbf{w}_1 \parallel} = \left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3} \right) \end{align*} \item Hai vector riêng cho $\lambda_2$ là $\mathbf{v}_2=(2,1,0)$ và $\mathbf{v}_3=(-2,0,1)$. Chú ý rằng $\mathbf{v}_1$ trực giao với $\mathbf{v}_2$ và $\mathbf{v}_3$. Tuy nhiên, các vector riêng $\mathbf{v}_2$ và $\mathbf{v}_3$ thì không trực giao với nhau. Để tìm hai vector riêng trực chuẩn cho $\lambda_2$, sử dụng quy trình Gram-Schmidt như sau \begin{align*} \mathbf{w}_2 &= \mathbf{v}_2 =(2,1,0)\\ \mathbf{w}_3 &= \mathbf{v}_3 -\dfrac{\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{w}_2 \rangle}{\langle\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_2\rangle }\mathbf{w}_2 =\left(-\dfrac{2}{5},\dfrac{4}{5},1\right) \end{align*} Các vector này chuẩn hóa thành \begin{align*} \mathbf{u}_2 &= \dfrac{\mathbf{w}_2}{\parallel \mathbf{w}_2 \parallel} = \left(\dfrac{1}{\sqrt{5}},\dfrac{1}{\sqrt{5}},0 \right) \\ \mathbf{u}_3 &= \dfrac{\mathbf{w}_3}{\parallel \mathbf{w}_3 \parallel} = \left(-\dfrac{2}{3\sqrt{5}},\dfrac{4}{3\sqrt{5}},\dfrac{5}{3\sqrt{5}} \right) \end{align*} \item Ma trận $P$ có $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$ và $\mathbf{u}_3$ là các vector cột \begin{align*} P = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{3}&\frac{2}{\sqrt{5}}&-\frac{2}{3\sqrt{5}}\\ -\frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{3\sqrt{5}}\\ \frac{2}{3}&0&\frac{5}{3\sqrt{5}} \end{matrix} \right] \end{align*} Kiểm tra lại như sau \begin{align*} P^{-1}AP=P^{T}AP = \left[ \begin{matrix} 6&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&3 \end{matrix} \right] \end{align*} \end{enumerate} \section{Ứng dụng của trị riêng và vector riêng} \subsection{Phát triển dân số} \subsection{Hệ phương trình vi phân tuyến tính (Giải tích)} Một \textbf{hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một} có dạng \begin{align} y_1' &= a_{11}y_1 +a_{12}y_2 + \cdots a_{1n}y_n \\ y_2' &= a_{21}y_1 +a_{22}y_2 + \cdots a_{2n}y_n \\ &\cdot\\ &\cdot\\ &\cdot\\ y_n' &= a_{n1}y_1 +a_{n2}y_2 + \cdots a_{nn}y_n \end{align} trong đó mỗi $y_i$ là hàm của $t$ và $y_i' = \dfrac{dy_i}{dt}$. Nếu ta gọi \begin{align} \mathbf{y}&= \left[ \begin{matrix} y_1\\ y_2\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ y_n \end{matrix} \right] \text{ và } \mathbf{y}'&= \left[ \begin{matrix} y'_1\\ y'_2\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ y'_n \end{matrix} \right] \end{align} khi đó hệ có thể được viết dưới dạng ma trận $\mathbf{y}'=A \mathbf{y}$.\\ Ví dụ: Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính \begin{align*} y'_1 &= 4y_1\\ y'_2 &=-y_2\\ y'_3 &= 2y_3 \end{align*} Giải: Từ giải tích, ta đã biết nghiệm của phương trình vi phân $y'=ky$ là \begin{align*} y=Ce^{kt} \end{align*} Do đó, nghiệm của hệ là \begin{align*} y_1 &= C_1e^{4t}\\ y_2 &=C_2e^{-t}\\ y_3 &= C_3 e^{2t} \end{align*} Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính là $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}$, hay \begin{align*} \left[\begin{matrix} y'_1\\ y'_2\\ y'_3 \end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} 4&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&2 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{matrix} \right] \end{align*} Do đó, các hệ số của $t$ trong các nghiệm $y_i = C_i e^{\lambda_i t}$ được cung cấp bởi các \textit{trị riêng} của ma trận $A$. Nếu $A$ là ma trận \textit{chéo}, khi đó nghiệm của \begin{align} \mathbf{y}'=A\mathbf{y} \end{align} có thể thu được ngay. Nếu $A$ \textit{không} chéo, khi đó tìm nghiệm cần một số công việc nhiều hơn. Đầu tiên, cố gắng tìm ma trận $P$ chéo hóa $A$. Khi đó, đổi các biến được biểu diễn bởi $\mathbf{y}=P\mathbf{w}$ và $\mathbf{y}'=P\mathbf{w}'$ tạo ra \begin{align} P\mathbf{w}' = \mathbf{y}' = A\mathbf{y} AP \mathbf{w} \to \mathbf{w}'=P^{-1} AP \mathbf{w} \end{align} trong đó $P^{-1}AP$ là ma trận chéo. \\ Ví dụ: Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính sau \begin{align*} y'_1 &= 3y_1+2y_2\\ y'_2 &=6y_1-y_2 \end{align*} Giải: Đầu tiên tìm ma trận $P$ để chéo hóa $A = \left[\begin{matrix} 3&2\\ 6&-1 \end{matrix} \right]$. Các trị riêng của $A$ là $\lambda_1=-3$ và $\lambda_2=5$, với các vector riêng tương ứng \begin{align*} \mathbf{p}_1&=\left[\begin{matrix} 1\\ -3 \end{matrix} \right] \text{ và } \mathbf{p}_2&=\left[\begin{matrix} 1\\ 1 \end{matrix} \right] \end{align*} Chéo hóa $A$ sử dụng ma trận $P$ với các cột là $\mathbf{p}_1$ và $\mathbf{p}_2$ để có \begin{align*} P = \left[\begin{matrix} 1&1\\ -3&1 \end{matrix} \right], P^{-1} = \left[\begin{matrix} \frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\ \frac{3}{4}&\frac{1}{4} \end{matrix} \right] \text{ và } P^{-1}A P = \left[\begin{matrix} -3&0\\ 0&5 \end{matrix} \right] \end{align*} Hệ được biểu diễn bởi $\mathbf{w}'=P^{-1}AP\mathbf{w}$ có dạng sau \begin{align*} \left[\begin{matrix} w'_1\\ w'_2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} -3&0\\ 0&5 \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} w_1\\ w_2 \end{matrix} \right] \end{align*} hay \begin{align*} w'_1 &=-3 w_1\\ w'_2 &= 5w_2 \end{align*} Nghiệm của hệ phương trình này là \begin{align*} w_1 &= C_1 e^{-3t} \\ w_2 & C_2 e^{5t} \end{align*} Để quay lại các biến gốc $y_1$ và $y_2$, sử dụng phép thay $\mathbf{y}=P\mathbf{w}$ và viết \begin{align*} \left[\begin{matrix} y_1\\ y_2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 1&1\\ -3&1 \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} w_1\\ w_2 \end{matrix} \right] \end{align*} suy ra nghiệm là \begin{align*} y_1 &= w_1+w_2 = C_1 e^{-3t} + C_2 e^{5t} \\ y_2 &= -3w_1+w_2 = -3C_1 e^{-3t} + C_2 e^{5t} \end{align*} \subsection{Dạng bậc hai} Phương trình bậc hai \begin{equation} ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 \end{equation} hiển nhiên có đồ thị dạng bậc hai nếu không có số hạng $xy$ (tức là $b=0$). Tuy nhiên, nếu phương trình có số hạng $xy$ thì cần phải thực hiện phép quay trục để khử số hạng $xy$. Phương trình kết quả (đối với trục $x'y'$ mới) sẽ có dạng \begin{equation} a'(x')^2+c'(y')^2+d'x'+e'y'+f' = 0 \end{equation} Ta thấy các hệ số $a'$ và $c'$ là các trị riêng của ma trận \begin{align} A = \left[\begin{matrix} a&b/2\\ b/2&c \end{matrix} \right] \end{align} Biểu thức \begin{equation} ax^2+bxy+cy^2 \end{equation} được gọi là \textbf{dạng bậc hai} liên hệ với phương trình bậc hai $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$, và ma trận $A$ được gọi là \textbf{ma trận dạng bậc hai}. Chú ý là ma trận $A$ \textit{đối xứng}. Hơn nữa, ma trận $A$ chéo khi và chỉ khi dạng bậc hai tương ứng không có số hạng $xy$.\\ Ví dụ: Tìm ma trận dạng bậc hai liên hệ với mỗi phương trình bậc hai (a) $4x^2+9y^2-36=0$. (b) $13x^2-10xy+13y^2-72=0$.\\ Giải:\\ (a) Do $a=4$, $b=0$, và $c=9$, ma trận là \begin{align*} A = \left[\begin{matrix} 4&0\\ 0&9 \end{matrix} \right] \end{align*} là ma trận chéo (không số hạng $xy$). (b) Do $a=13$, $b=-10$, và $c=13$, ma trận là \begin{align*} A = \left[\begin{matrix} 13&-5\\ -5&13 \end{matrix} \right] \end{align*} không là ma trận chéo (có số hạng $xy$).