1. Hệ phương trình tuyến tính
1.1. Định nghĩa phương trình tuyến tính theo $n$ biến
Một phương trình tuyến tính theo $n$ biến $x_1, x_2,x_3,\cdots, x_n$ có dạng\begin{equation} a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + \cdots + a_n x_n = b .
\end{equation}
Các hệ số $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$ là các số thực, số hạng hằng $b$ là số thực. Số $a_1$ là hệ số dẫn đầu, và $x_1$ là biến dẫn đầu.
Ví dụ: Các phương trình sau: $3x+2y=7$, $x_1 -2x_2 +10x_3 +x_4 = 0$ là các phương trình tuyến tính. Các phương trình sau: $xy + z=2$, $e^x -3y = 4$ là các phương trình không tuyến tính.
Nghiệm của phương trình tuyến tính theo $n$ biến là chuỗi $n$ số thực $s_1,s_2, s_3,\cdots,s_n$ được sắp xếp để phương trình thỏa mãn khi các giá trị $x_1=s_1, x_2=s_2, x_3=s_3$, $\cdots$ , $x_n=s_n$ được thay vào phương trình. Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình tuyến tính được gọi là tập hợp nghiệm, và phương trình được giải khi tập hợp này được tìm thấy. Để mô tả toàn bộ tập hợp nghiệm của phương trình tuyến tính, biểu diễn hình học thường được sử dụng.
1.2. Hệ phương trình tuyến tính
1.2.1. Định nghĩa
Hệ $m$ phương trình tuyến tính theo $n$ biến là tập hợp $m$ phương trình, mỗi một phương trình là một phương trình tuyến tính theo $n$ biến như nhau:
\begin{align*} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + \cdots + a_{1n} x_n &= b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + \cdots + a_{2n} x_n &= b_2 \\ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 + \cdots + a_{3n} x_n &= b_3 \\ &. \\ &.\\ &.\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + a_{m3} x_3 + \cdots + a_{mn} x_n &= b_m \end{align*}
1.2.2. Số lượng nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Một hệ phương trình tuyến tính có thể có một nghiệm chính xác, vô số nghiệm hoặc vô nghiệm. Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thống nhất nếu nó có ít nhất một nghiệm và không thống nhất nếu nó vô nghiệm.1.3. Giải hệ phương trình tuyến tính
Mỗi phép tính sau đây lên hệ phương trình tuyến tính tạo ra một hệ tương đương- Đổi chỗ hai phương trình.
- Nhân một phương trình với một hằng số khác không.
- Cộng bội số của một phương trình với một phương trình khác.
Giải:
+ Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai tạo ra một phương trình thứ hai mới \begin{align*} x-2y+3z &= 9 \\ y+3z &=5 \\ 2x-5y+5z &=17 \end{align*}
+ Cộng $-2$ lần phương trình thứ nhất với phương trình thứ ba tạo ra một phương trình thứ ba mới \begin{align*} x-2y+3z &= 9 \\ y+3z &=5 \\ -y-z &=-1 \end{align*}
+ Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba tạo ra một phương trình thứ ba mới \begin{align*} x-2y+3z &= 9 \\ y+3z &=5 \\ 2z &=4 \end{align*}
+ Nhân phương trình thứ ba với $\dfrac{1}{2}$ tạo ra một phương trình thứ ba mới \begin{align*} x-2y+3z &= 9 \\ y+3z &=5 \\ z &=2 \end{align*}
Như vậy $x=1,y=-1,z=2$.
2. Phép khử Gauss và phép khử Gauss-Jordan
2.1. Định nghĩa ma trận
Nếu $m$ và $n$ là các số nguyên dương, khi đó ma trận $m\times n$ là một dãy hình chữ nhật \begin{equation} \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{matrix} \right] \end{equation} trong đó mỗi phần tử $a_{ij}$ của ma trận là con số. Ma trận $m\times n$ có $m$ hàng (đường nằm ngang) và $n$ cột (đường thẳng đứng).Chú ý: Nếu mỗi phần tử của ma trận là số thực thì ma trận được gọi là ma trận thực. Phần tử $a_{ij}$ ở hàng thứ $i$ và cột thứ $j$. Chỉ số $i$ được gọi là chỉ số hàng và $j$ là chỉ số cột. Ma trận với $m$ hàng và $n$ cột (ma trận $m\times n$) có cấp $m\times n$. Nếu $m=n$, ma trận được gọi là ma trận vuông cấp $n$. Với một ma trận vuông, các phần tử $a_{11},a_{22},a_{33},\cdots$ được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính. Ta thường sử dụng các ma trận để biểu diễn hệ phương trình tuyến tính. Ma trận được khảo sát từ các hệ số và số hạng hằng của hệ phương trình tuyến tính được gọi là ma trận mở rộng của hệ. Ma trận chỉ chứa các hệ số của hệ gọi là ma trận hệ số của hệ.
Ví dụ: Cho hệ \begin{align*} x-4y+3z &= 5 \\ -x+3y-z &= -3 \\ 2x-4z &=6 \end{align*} có ma trận mở rộng là \begin{align*} \left[\begin{matrix} 1 & -4 & 3 & 5 \\ -1 & 3 & -1 & -3 \\ 2 & 0 & -4 & 6 \end{matrix} \right] \end{align*} và ma trận hệ số là \begin{align*} \left[\begin{matrix} 1 & -4 & 3 \\ -1 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & -4 \end{matrix} \right] \end{align*}
2.2. Các phép tính hàng sơ cấp
Ba phép tính có thể được sử dụng cho hệ phương trình tuyến tính để tạo ra phương trình tương đưowng. Trong ma trận, ta cũng có ba phép tính tương ứng với các phép tính hàng sơ cấp. Phép tính hàng sơ cấp lên một ma trận mở rộng tạ ra một ma trận mở rộng mới (nhưng tương đương) ứng với hệ phương trình tuyến tính. Hai ma trận gọi là tương đương hàng khi và chỉ khi ma trận này có thể thu được từ ma trận kia bằng một số hữu hạn các phép tính hàng sơ cấp. Ba phép tính hàng sơ cấp là- Đổi chỗ hai hàng.
- Nhân một hàng với một số khác không.
- Cộng bội số của một hàng với hàng khác.
2.3. Định nghĩa dạng bậc thang của ma trận
Ma trận theo dạng bậc thang có các tính chất sau- Tất cả các hàng chứa số 0 chỉ xuất hiện ở đáy ma trận.
- Với mỗi hàng không chứa toàn bộ số 0, phần tử khác không đầu tiên là 1 (gọi là số 1 dẫn đầu).
- Với hai hàng liên tiếp (khác không), số 1 dẫn đầu nằm ở hàng cao hơn lệch về bên trái so với số 1 dẫn đầu ở hàng thấp hơn.
Ví dụ: Ma trận $\left[\begin{matrix} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{matrix} \right]$ là ma trận bậc thang nhưng không rút gọn. Ma trận $\left[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]$ là ma trận bậc thang rút gọn.
2.4. Phép khử Gauss với phép thế ngược lên
- Viết ma trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính.
- Sử dụng phép cộng hàng để viết lại ma trận mở rộng theo dạng bậc thang.
- Viết hệ phương trình tuyến tính tương ứng với dạng bậc thang và sử dụng phép thế ngược lên để tìm nghiệm.
Phép khử Gauss với phép thế ngược lên là một phương pháp đại số cho việc giải phương trình tuyến tính. Với thuật toán này, thứ tự mà trong đó các phép tính hàng được thực hiện là rất quan trọng. Hãy di chuyển từ trái sang phải theo cột, biến đổi các tất cả các phần tử dưới số 1 dẫn đầu về số 0.
Ví dụ: Giải hệ phương trình \begin{align*} x_2+x_3-2x_4&=-3\\ x_1+2x_2-x_3&=2\\ 2x_1+4x_2+x_3-3x_4&=-2\\ x_1-4x_2-7x_3-x_4&=-19 \end{align*}
Giải:
Ma trận mở rộng cho hệ là \begin{align*} \left[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & -2 & -3 \\ 1 & 2 & -1 & 0 & 2 \\ 2 & 4 & 1 & -3 & -2 \\ 1 & -4 & -7 & -1 & -19 \end{matrix} \right] \end{align*}
Hãy thu được số 1 dẫn đầu theo cột trái phía trên và các số 0 ở các vị trí khác trong cột thứ nhất.
+ Đổi chỗ hàng 1 và hàng 2 ($R_1 \leftrightarrow R_2$) \begin{align*} \left[\begin{matrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & -3 \\ 2 & 4 & 1 & -3 & -2 \\ 1 & -4 & -7 & -1 & -19 \end{matrix} \right] \end{align*} + Cộng $-2$ lần hàng 1 với hàng 3 tạo ra một hàng 3 mới ($R_3 +(-2)R_1 \rightarrow R_3$) \begin{align*} \left[\begin{matrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & -6 \\ 1 & -4 & -7 & -1 & -19 \end{matrix} \right] \end{align*}
+ Cộng $-1$ lần hàng 1 với hàng 4 tạo ra một hàng 4 mới ($R_4 +(-1)R_1 \rightarrow R_4$) \begin{align*} \left[\begin{matrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -6 & -1 & -21 \end{matrix} \right] \end{align*}
+ Bây giờ cột 1 có dạng ta mong muốn, ta nên thay đổi cột 2 như dưới đây. Cộng $6$ lần hàng 2 với hàng 4 tạo ra một hàng 4 mới ($R_4 +(6)R_2 \rightarrow R_4$) \begin{align*} \left[\begin{matrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -13 & -39 \end{matrix} \right] \end{align*}
+ Để viết cột thứ 3 theo dạng thích hợp, nhân hàng 3 với $\dfrac{1}{3} $. Nhân hàng 3 với $\dfrac{1}{3}$ tạo ra một hàng 3 mới ($\left(\dfrac{1}{3}\right) R_3 \rightarrow R_3$) \begin{align*} \left[\begin{matrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -13 & -39 \end{matrix} \right] \end{align*}
+ Tương tự, để viết cột 4 theo dạng thích hợp, ta nên nhân hàng 4 với $-\dfrac{1}{13}$. Nhân hàng 4 với $-\dfrac{1}{13}$ tạo ra hàng 4 mới. ($\left(-\dfrac{1}{13}\right) R_4 \rightarrow R_4$) \begin{align*} \left[\begin{matrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \end{align*}
Ma trận lúc này có dạng bậc thang, và hệ phương trình tuyến tính tương ứng như sau \begin{align*} x_1+2x_2-x_3 &=2\\ x_2+x_3-2x_4&=-3\\ x_3-x_4&=-2\\ x_4&=3 \end{align*}
Sử dụng phép thế ngược lên, ta có thể xác định nghiệm là $x_1=-1, x_2=2, x_3=1,x_4=3$.
2.5. Phép khử Gauss-Jordan
Với phép khử Gauss, ta áp dụng các phép tính hàng sơ cấp lên ma trận để thu được một dạng bậc thang (tương đương hàng). Phương pháp thứ hai của phép khử gọi là phép khử Gauss-Jordan sau khi Carl Gauss và Wilhelm Jordan (1842-1899), tiếp tục quá trình rút gọn cho đến khi thu được dạng bậc thang rút gọn.Ví dụ: Sử dụng phép khử Gauss-Jordan để giải hệ \begin{align*} x-2y+3z &=9\\ -x+3y&=-4\\ 2x-5y+5z&=17 \end{align*}
Giải:
Sử dụng phép khử Gauss ta dễ dàng thu được dạng bậc thang \begin{align*} \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \end{align*}
Bây giờ thay vì thế ngược lại, hãy áp dụng các phép tính hàng cho đến khi ta thu được một ma trận bậc thang rút gọn. Để làm điều này, ta phải tạo ra các số 0 ở trên mỗi số 1 dẫn đầu như sau
+ $R_1+(2)R_2 \rightarrow R_1$ \begin{align*} \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 9 & 19 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \end{align*}
+ $R_2+(-3)R_3 \rightarrow R_2$ \begin{align*} \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 9 & 19 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \end{align*}
+ $R_1+(-9)R_3 \rightarrow R_1$ \begin{align*} \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \end{align*}
Lúc này, ta có hệ tuyến tính \begin{align*} x&=1\\ y&=-1\\ z&=2 \end{align*}
2.6. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
2.6.1. Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính mà trong đó mỗi số hạng hằng bằng 0 được gọi là hệ thuần nhất. Ví dụ, hệ thuần nhất $m$ phương trình theo $n$ biến có dạng \begin{align*} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + \cdots + a_{1n} x_n &= 0 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + \cdots + a_{2n} x_n &= 0 \\ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 + \cdots + a_{3n} x_n &= 0 \\ &. \\ &.\\ &.\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + a_{m3} x_3 + \cdots + a_{mn} x_n &= 0 \\ \end{align*}Dễ dàng thấy rằng một hệ thuần nhất phải có ít nhất 1 nghiệm. Đặc biệt, nếu tất cả các biến trong hệ thuần nhất có giá trị không, thì mỗi phương trình phải được thỏa mãn. Nghiệm như vậy gọi là nghiệm tầm thường. Ví dụ, hệ thuần nhất của 3 phương trình theo 3 biến $x_1, x_2$ và $x_3$ phải có $x_1=0,x_2=0$ và $x_3=0$ như là một nghiệm tầm thường.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét