Định thức
\section{Định thức của ma trận}
\subsection{Định thức}
\subsubsection{Định nghĩa của định thức ma trận $2\times 2$}
\textbf{Định thức} của ma trận
\begin{equation}
A = \left[\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{matrix} \right]
\end{equation}
được cho bởi
\begin{equation}
\det (A) = |A| =\left|\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{matrix} \right| = a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}.
\end{equation}
\\
\textbf{Ví dụ:} Tính định thức các ma trận sau
(a) $A = \left[\begin{matrix}
2 & -3 \\
1 & 2
\end{matrix} \right]$.
(b) $B = \left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
4 & 2
\end{matrix} \right]$.
\\
\textbf{Giải:}\\
(a) $|A| = \left|\begin{matrix}
2 & -3 \\
1 & 2
\end{matrix} \right| = 2(2)-1(-3) = 7$.
(b) $B = \left|\begin{matrix}
2 & 1 \\
4 & 2
\end{matrix} \right| = 2(2)-4(1)=0$.
\\\\
Định thức của ma trận bậc 1 chính là phần tử của ma trận. Ví dụ, nếu $A=[-2]$ thì $\det(A)=-2$.
\subsubsection{Định nghĩa phần phụ và phần phụ đại số của ma trận}
Nếu $A$ là ma trận vuông, khi đó \textbf{phần phụ} $M_{ij}$ của phần tử $a_{ij}$ là định thức của ma trận thu được bằng cách bỏ đi hàng thứ $i$ và cột thứ $j$ của $A$. \textbf{Phần phụ đại số} $C_{ij}$ được cho bởi
\begin{equation}
C_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij}
\end{equation}
\textbf{Ví dụ:} Xét ma trận vuông cấp 3
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Khi đó,
\begin{align*}
M_{21} &= \left|\begin{matrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33}
\end{matrix} \right] ; C_{21} = (-1)^{2+1}M_{21} = - M_{21} \\
M_{22} &= \left|\begin{matrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33}
\end{matrix} \right| ; C_{22} = (-1)^{2+2}M_{22} = M_{22}
\end{align*}
\\
Các khái niệm này sẽ được sử dụng để đưa ra định nghĩa tổng quát cho một định thức ma trận. Khi đó, định thức của ma trận có tính \textbf{quy nạp}, tức là để tính định thức ma trận cấp $n$ ta cần xác định định thức cấp $n-1$.
\subsubsection{Định nghĩa định thức của ma trận}
Nếu $A$ là ma trận vuông (cao hơn cấp 2) thì định thức của $A$ là tổng của các phần tử trong hàng đầu tiên của $A$ nhân với các phần bù đại số của chúng. Đó là
\begin{equation}
\det(A) = |A| = \sum_{j=1}^n a_{1j}C_{1j} = a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + \cdots + a_{1n} C_{1n} .
\end{equation}
\\
\textbf{Ví dụ:} Tính định thức của
\begin{align*}
A=\left[\begin{matrix}
0 & 2 & 1 \\
3 & -1 & 2 \\
4 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\textbf{Giải:}
+ Khai triển hàng thứ nhất
\begin{align*}
|A| &= a_{11}C_{11} + a_{12} C_{12} + a_{13} C_{13} \\
&=0(-1)+2(5)+1(4) = 14
\end{align*}
+ Khai triển hàng thứ hai
\begin{align*}
|A| &= a_{21}C_{21} + a_{22} C_{22} + a_{23} C_{23} \\
&=3(-2)+(-1)(-4)+2(8) = 14
\end{align*}
+ Khai triển cột thứ nhất
\begin{align*}
|A| &= a_{11}C_{11} + a_{21} C_{21} + a_{31} C_{31} \\
&=0(-1)+3(-2)+4(5) = 14
\end{align*}
\subsubsection{Khai triển bằng các phần phụ đại số}
Gọi $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi đó định thức của $A$ được cho bởi
\begin{equation}
\det(A) = |A| = \sum_{j=1}^n a_{ij}C_{ij} = a_{i1} C_{i1} + a_{i2} C_{i2} + \cdots + a_{in} C_{in}
\end{equation}
hoặc
\begin{equation}
\det(A) = |A| = \sum_{i=1}^n a_{ij}C_{ij} = a_{1j} C_{1j} + a_{2j} C_{2j} + \cdots + a_{nj} C_{nj} .
\end{equation}
Khi khai triển phần phụ đại số, ta không cần tính các phần phụ có chứa phần tử không, bởi vì $a_{ij} C_{ij} = (0)C_{ij} = 0$. Do đó, hàng (hoặc cột) chứa nhiều phần tử 0 nhất thường được chọn để khai triển phần phụ đại số.
\\\\
\textbf{Ví dụ:} Tính định thức của
\begin{align*}
A=\left[\begin{matrix}
1 & -2 & 3 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 2\\
0 &2 & 0 & 3 \\
3 & 4 & 0 &-2
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\textbf{Giải:}
Ta có thể thấy ba phần tử trong cột 3 đều bằng 0. Ta có thể rút gọn thời gian tính toán bằng cách sử dụng khai triển cột 3.
\begin{align*}
|A| = 3(C_{13})+0(C_{23})+0(C_{33}) + 0(C_{43})
\end{align*}
Do $C_{23},C_{33}$, và $C_{43}$ là các hệ số bằng 0, ta chỉ cần tìm phần phụ đại số $C_{13}$. Để làm điều này, ta xóa hàng 1 và cột 3 của $A$ và tính định thức ma trận
\begin{align*}
C_{13}=(-1)^{1+3} \left| \begin{matrix}
-1 & 1 & 2 \\
0&2&3\\
3&4&-2
\end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix}
-1 & 1 & 2 \\
0&2&3\\
3&4&-2
\end{matrix} \right|
\end{align*}
Khai triển phần phụ đại số theo hàng 2 ta được
\begin{align*}
C_{13} &=(0)(-1)^{2+1} \left| \begin{matrix}
1 & 2 \\
4&-2
\end{matrix} \right| + (2)(-1)^{2+2} \left| \begin{matrix}
-1 & 2 \\
3&-2
\end{matrix} \right| +(3)(-1)^{2+3}\left| \begin{matrix}
-1 & 1 \\
3&4
\end{matrix} \right| \\
&=0+2(1)(-4)+3(-1)(-7) =13
\end{align*}
Vậy $|A|=3(13)=39$.
\\\\
Ta cũng có một phương pháp phổ biến khác được sử dụng để tính định thức ma trận $A$ cấp $3\times 3$. Để áp dụng phương pháp này, ta hãy sao chép cột 1 và 2 của $A$ để hình thành nên cột 3 và 5 của $A$. Định thức $A$ khi đó thu được bằng cách cộng (hoặc trừ) tích của 6 đường chéo
\begin{align*}
\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{21}&a_{22}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{31}&a_{32}\\
\end{matrix}
\end{align*}
Định thức $A$ khi đó được tính như sau
\begin{equation}
|A| = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}.
\end{equation}
\\\\
\textbf{Ví dụ: } Tính định thức
\begin{align*}
A=\left[\begin{matrix}
0 & 2 & 1 \\
3 & -1 & 2\\
4 & -4 & 1
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Bắt đầu sao chép hai cột đầu tiên và tính toán 6 tích đường chéo như sau
\begin{align*}
\begin{matrix}
0 & 2 & 1 & 0 & 2 \\
3 & -1 & 2&3&-1\\
4 & -4 & 1 &4 &-4
\end{matrix}
\end{align*}
Cộng 3 tích dưới và trừ 3 tích trên, ta tính được định thức $A$ là
\begin{align*}
|A| = 0+16+(-12)-(-4)-0-6=2.
\end{align*}
\subsection{Ma trận tam giác}
\subsubsection{Định nghĩa}
Ma trận là tam giác trên hoặc tam giác dưới đều gọi là ma trận \textbf{chéo}. Ma trận chéo là ma trận trong đó tất cả các phần tử trên và dưới đường chéo chính là 0.
Ma trận tam giác trên: $\left[\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} &a_{13} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\
. & . & & . \\
. & . & & . \\
. & . & & . \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{matrix} \right]$.
Ma trận tam giác dưới: $\left[\begin{matrix}
a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & 0 \\
. & . & & . \\
. & . & & . \\
. & . & & . \\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}
\end{matrix} \right]$
\subsubsection{Định thức của ma trận tam giác}
Nếu $A$ là ma trận tam giác bậc $n$ thì định thức của nó là tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Đó là
\begin{equation}
\det(A) = |A| = a_{11} a_{22} a_{33} \cdots a_{nn} .
\end{equation}
\\
\textbf{Ví dụ:} Tính định thức các ma trận sau
(a) $A=\left[\begin{matrix}
2 & 0 & 0 & 0 \\
4 & -2 & 0 & 0\\
-5 & 6 & 1 & 0 \\
1 & 5 & 3 & 3
\end{matrix} \right]$.
(b) $B=\left[\begin{matrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -2
\end{matrix} \right]$.
\\\\
\textbf{Giải:}\\
(a) Định thức của ma trận tam giác dưới được cho bởi $|A|=(2)(-2)(1)(3)=-12$.
(b) Định thức của ma trận \textit{chéo} được cho bởi $|B|=(-1)(3)(2)(4)(-2)=48$.
\section{Tính định thức sử dụng các phép tính sơ cấp}
\subsection{Các phép tính hàng sơ cấp và các định thức}
Gọi $A$ và $B$ là các ma trận vuông.
\begin{itemize}
\item Nếu $B$ thu được từ $A$ bằng cách đổi chỗ hai hàng của $A$ thì
\begin{equation}
\det(B)=-\det(A)
\end{equation}
\item Nếu $B$ thu được từ $A$ bằng cách nhân một hàng của $A$ với một hàng khác của $A$ thì
\begin{equation}
\det(B)=\det(A)
\end{equation}
\item Nếu $B$ thu được từ $A$ bằng cách nhân một hàng của $A$ với một hằng số $c$ khác không thì
\begin{equation}
\det(B)=c\det(A)
\end{equation}
\end{itemize}
\textbf{Ví dụ:}
(a) $|A|=\left|\begin{matrix}
2 & -3 \\
1 & 4
\end{matrix} \right|=11$ và $|B|=\left|\begin{matrix}
1 & 4 \\
2 & -3
\end{matrix} \right|=-11$.
(b) $|A|=\left|\begin{matrix}
1 & -3 \\
2 & -4
\end{matrix} \right|=2$ và $|B|=\left|\begin{matrix}
1 & -3 \\
0 & 2
\end{matrix} \right|=2$.
(c) $|A|=\left|\begin{matrix}
2 & -8 \\
-2 & 9
\end{matrix} \right|=2$ và $|B|=\left|\begin{matrix}
1 & -4 \\
-2 & 9
\end{matrix} \right|=1$.
\\\\
\textbf{Ví dụ:} Tính định thức
\begin{align*}
A=\left[\begin{matrix}
2 & -3 & 10\\
1 & 2 & -2 \\
0&1&-3
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\textbf{Giải:}
\\
Sử dụng các phép tính hàng sơ cấp, ta viết lại $A$ theo dạng tam giác như sau
\begin{align*}
\left|\begin{matrix}
2 & -3 & 10\\
1 & 2 & -2 \\
0&1&-3
\end{matrix} \right|
&= -\left|\begin{matrix}
1 & 2 & -2\\
2 & -3 & 10 \\
0&1&-3
\end{matrix} \right| \text{ (đổi chỗ hai hàng đầu tiên)} \\
&= -\left|\begin{matrix}
1 & 2 & -2\\
0 & -7 & 14 \\
0&1&-3
\end{matrix} \right| \text{ (cộng ($-2$) lần hàng 1 với hàng 2 để tạo hàng 2 mới)} \\
&= 7\left|\begin{matrix}
1 & 2 & -2\\
0 & 1 & -2 \\
0&1&-3
\end{matrix} \right| \text{ (đưa thừa số ($-7$) của hàng 2 ra ngoài)} \\
&= 7\left|\begin{matrix}
1 & 2 & -2\\
0 & 1 & -2 \\
0&0&-1
\end{matrix} \right| \text{ (cộng ($-1$) lần hàng 2 với hàng 3 để tạo hàng 3 mới)}
\end{align*}
Lúc này ma trận cuối cùng là ma trận tam giác, ta có thể tính định thức là
\begin{align*}
|A|=7(1)(1)(-1)=-7.
\end{align*}
\subsection{Các định thức và các phép tính cột sơ cấp}
Các phát biểu cho cột cũng tương tự như cho hàng.
\\\\
\textbf{Ví dụ:} Tính định thức
\begin{align*}
A=\left[\begin{matrix}
-1 & 2 & 2\\
3 & -6 & 4 \\
5&-10&-3
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\textbf{Giải:}
\\
Do hai cột đầu tiên của $A$ là bội số của nhau, ta có thể thu được một cột bằng 0 bằng cách cộng $2$ lần cột 1 với cột 2 như sau
\begin{align*}
\left|\begin{matrix}
-1 & 2 & 2\\
3 & -6 & 4 \\
5&-10&-3
\end{matrix} \right| =\left|\begin{matrix}
-1 & 0 & 2\\
3 & 0 & 4 \\
5&0&-3
\end{matrix} \right|
\end{align*}
Lúc này ta không cần tiếp tục viết lại ma trận theo dạng tam giác. Do một cột toàn 0 nên khi ta khai triển theo cột này định thức bằng 0.
\begin{align*}
|A|=(0)C_{12}+(0)C_{22}+(0)C_{32} = 0
\end{align*}
\subsection{Điều kiện để định thức bằng không}
Nếu $A$ là ma trận vuông và một trong các điều kiện sau đúng thì $\det(A)=0$.
\begin{itemize}
\item Toàn bộ một hàng (hoặc cột) chứa các phần tử 0.
\item Hai hàng (hoặc cột) bằng nhau.
\item Một hàng (hoặc cột) là bội số của hàng khác (hoặc cột).
\end{itemize}
\textbf{Ví dụ:}
+ $\left|\begin{matrix}
0 & 0 & 0 \\
2 & 4 & -5 \\
3 & -5 & 2
\end{matrix} \right| = 0$ vì hàng thứ nhất chứa toàn 0.
+ $\left|\begin{matrix}
1 & -2 & 4 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & -2 & 4
\end{matrix} \right| = 0$ vì hàng thứ nhất và hàng thứ ba giống nhau.
+ $\left|\begin{matrix}
1 & 2 & -3 \\
2 & -1 & -6 \\
-2 & 0 & 6
\end{matrix} \right| = 0$ vì hàng thứ hai là bội số của hàng thứ nhất.
\\\\
\textbf{Ví dụ:} Tính định thức
\begin{align*}
A=\left[\begin{matrix}
1 & 4 & 1\\
2 & -1 & 0 \\
0&18&4
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\textbf{Giải:}
\\
Cộng $-2$ lần cột 1 với cột 2 tạo ra
\begin{align*}
|A|=\left|\begin{matrix}
1 & 4 & 1\\
2 & -1 & 0 \\
0&18&4
\end{matrix} \right| = \left|\begin{matrix}
1 & 4 & 1\\
0 & -9 & -2 \\
0&18&4
\end{matrix} \right|
\end{align*}
Lúc này do cột 2 và cột 3 là bội số của nhau, ta có thể kết luận rằng định thức bằng 0.
\\\\
\textbf{Ví dụ:} Tính định thức
\begin{align*}
A=\left[\begin{matrix}
-3 & 5 & 2\\
2 & -4 & -1 \\
-3&0&6
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\textbf{Giải:}
\\
Chú ý rằng ma trận $A$ đã có một số 0 ở hàng 3. Ta có thể tạo ra một số 0 nữa ở hàng 3 bằng cách cộng $2$ lần cột 1 với cột 3 như sau
\begin{align*}
|A|=\left|\begin{matrix}
-3 & 5 & 2\\
2 & -4 & -1 \\
-3&0&6
\end{matrix} \right| = \left|\begin{matrix}
-3 & 5 & -4\\
2 & -4 & 3 \\
-3&0&0
\end{matrix} \right|
\end{align*}
Khai triển phần bù đại số dọc theo hàng 3 tạo ra
\begin{align*}
|A|&=\left|\begin{matrix}
-3 & 5 & -4\\
2 & -4 & 3 \\
-3&0&0
\end{matrix} \right| \\
&=-3(-1)^4 \left|\begin{matrix}
5 & -4\\
-4 & 3 \\
\end{matrix} \right| \\
&=-3(1)(-1)=3.
\end{align*}
\\
\textbf{Ví dụ:} Tính định thức
\begin{align*}
A=\left[\begin{matrix}
2 & 0 & 1 & 3 & -2\\
-2 & 1 & 3 &2&-1 \\
1&0&-1&2&3\\
3&-1&2&4&-3\\
1&1&3&2&0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\textbf{Giải:}
\\
Do hàng 2 của ma trận này đã có hai số 0, ta chọn khai triển phần bù đại số theo nó. Hai số 0 thêm vào ở cột 2 bằng cách cộng hàng 2 với hàng 4, sau đó cộng $(-1)$ lần hàng 2 với hàng 5.
\begin{align*}
|A| &=\left|\begin{matrix}
2 & 0 & 1 & 3 & -2\\
-2 & 1 & 3 &2&-1 \\
1&0&-1&2&3\\
3&-1&2&4&-3\\
1&1&3&2&0
\end{matrix} \right| \\
&= \left|\begin{matrix}
2 & 0 & 1 & 3 & -2\\
-2 & 1 & 3 &2&-1 \\
1&0&-1&2&3\\
1&0&5&6&-4\\
3&0&0&0&1
\end{matrix} \right| \\
&= (1)(-1)^4 \left|\begin{matrix}
2 & 1 & 3 & -2\\
1&-1&2&3\\
1&5&6&-4\\
3&0&0&1
\end{matrix} \right|
\end{align*}
Do ta có hai số 0 ở hàng 3 nên ta khai triển phần bù đại số tiếp theo theo nó. Cộng $(-3)$ lần cột 4 với cột 1 để tạo ra
\begin{align*}
|A|=\left|\begin{matrix}
2 & 1 & 3 & -2\\
1&-1&2&3\\
1&5&6&-4\\
3&0&0&1
\end{matrix} \right| &=\left|\begin{matrix}
8 & 1 & 3 & -2\\
-8&-1&2&3\\
13&5&6&-4\\
0&0&0&1
\end{matrix} \right| \\
&=(1)(-1)^8 \left|\begin{matrix}
8&1&3 \\
-8&-1&2\\
13&5&6
\end{matrix} \right|
\end{align*}
Cộng hàng 2 với cột 1 và sau đó khai triển phần bù đại số theo hàng 1.
\begin{align*}
|A|= \left|\begin{matrix}
8&1&3 \\
-8&-1&2\\
13&5&6
\end{matrix} \right| &= \left|\begin{matrix}
0&0&5 \\
-8&-1&2\\
13&5&6
\end{matrix} \right| \\
&=5(-1)^4\left|\begin{matrix}
-8&-1\\
13&5
\end{matrix} \right| =5(1)(-27)=-135.
\end{align*}
\section{Các tính chất của định thức}
\subsection{Định thức của tích ma trận}
Nếu $A$ và $B$ là các ma trận vuông cấp $n$, khi đó
\begin{equation}
\det(AB) = \det(A)\det(B).
\end{equation}
\subsection{Định thức của nhân vô hướng ma trận}
Nếu $A$ là ma trận $n\times n$ và $c$ là vô hướng, khi đó định thức của $cA$ được cho bởi
\begin{equation}
\det(cA)=c^n \det(A).
\end{equation}
\textbf{Ví dụ:} Tính định thức của ma trận.
\begin{align*}
A=\left|\begin{matrix}
10 & -20 & 40 \\
30 & 0 & 50 \\
-20 & -30 & 10
\end{matrix} \right|
\end{align*}
\textbf{Giải:}
Do $
A=10\left|\begin{matrix}
1 & -2 & 4 \\
3 & 0 & 5 \\
-2 & -3 & 1
\end{matrix} \right|
$ và $
\left|\begin{matrix}
1 & -2 & 4 \\
3 & 0 & 5 \\
-2 & -3 & 1
\end{matrix} \right|=5
$.
Do đó, $|A| = 10^3 \left|\begin{matrix}
1 & -2 & 4 \\
3 & 0 & 5 \\
-2 & -3 & 1
\end{matrix} \right| = 1000(5)=5000.$
\subsection{Định thức và nghịch đảo ma trận}
\subsubsection{Định thức của ma trận khả nghịch}
Ma trận vuông $A$ khả nghịch (không kì dị) khi và chỉ khi $\det(A) \neq 0$.
\subsubsection{Định thức của ma trận nghịch đảo}
Nếu $A$ khả nghịch, khi đó
\begin{equation}
\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)}.
\end{equation}
\\
\textbf{Ví dụ:} Tính $|A^{-1}|$ cho ma trận
\begin{align*}
A=\left[\begin{matrix}
1 & 0 & 3 \\
0 & -1 & 2 \\
2 & 1 & 0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\\
\textbf{Giải:}\\
Ta có định thức của $A$ là
\begin{align*}
|A|=\left|\begin{matrix}
1 & 0 & 3 \\
0 & -1 & 2 \\
2 & 1 & 0
\end{matrix} \right| = 4 \neq 0
\end{align*}
Ma trận $A$ khả nghịch và có định thức $|A^{-1}|$ là
\begin{align*}
|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|} = \dfrac{1}{4}.
\end{align*}
\subsubsection{Điều kiện tương đương cho ma trận khả nghịch}
Nếu $A$ là ma trận $n\times n$, khi đó các phát biểu sau là tương đương.
\begin{itemize}
\item $A$ khả nghịch.
\item $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có nghiệm duy nhất cho mọi ma trận cột $\mathbf{b}$ cấp $n\times 1$.
\item $A\mathbf{x}=O$ chỉ có nghiệm tầm thường.
\item $A$ tương đương hàng với $I_n$.
\item $A$ có thể được viết như tích của các ma trận cơ sở.
\item $\det(A) \neq 0$.
\end{itemize}
\textbf{Ví dụ:} Hệ nào sau đây có nghiệm duy nhất?
(a) $\left\{ \begin{matrix}
2x_2-x_3 &= -1 \\
3x_1-2x_2+x_3&=4 \\
3x_1+2x_2-x_3 &=-4
\end{matrix}\right.$
(b) $\left\{ \begin{matrix}
2x_2-x_3 &= -1 \\
3x_1-2x_2+x_3&=4 \\
3x_1+2x_2+x_3 &=-4
\end{matrix}\right.$
\\\\
\textbf{Giải:}\\
Ta tính các định thức của ma trận hệ số
(a) $\left| \begin{matrix}
0&2&-1 \\
3&-2&1 \\
3&2&-1
\end{matrix}\right| = 0$.
(b) $\left| \begin{matrix}
0&2&-1 \\
3&-2&1 \\
3&2&1
\end{matrix}\right| = -12$.
Dễ thấy rằng chỉ có hệ thứ phương trình thứ hai mới có nghiệm duy nhất.
\subsection{Định thức và chuyển vị của ma trận}
Nếu $A$ là ma trận vuông, khi đó
\begin{equation}
\det(A)=\det(A^T).
\end{equation}
\section{Trị riêng}
Nếu $A$ là một ma trận $n\times n$, có tồn tại các ma trận $\mathbf{x}$ khác không cấp $n\times 1$ sao cho $A\mathbf{x}$ là bội số vô hướng của $\mathbf{x}$? Giá trị vô hướng thường được kí hiệu là $\lambda$ và được gọi là \textbf{trị riêng} của $A$, và ma trận cột $\mathbf{x}$ khác không được gọi là \textbf{vector riêng} của $A$ ứng với $\lambda$. Phương trình cơ bản cho bài toán trị riêng là
\begin{equation}
A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}.
\end{equation}
\textbf{Ví dụ:} Cho $A =\left[\begin{matrix}
1 & 4 \\
2& 3
\end{matrix} \right]$, $\mathbf{x}_1 = \left[\begin{matrix}
1 \\
1
\end{matrix} \right]$, và $\mathbf{x}_2 = \left[\begin{matrix}
2 \\
-1
\end{matrix} \right]$.\\
Hãy kiểm chứng rằng $\lambda_1 = 5$ là trị riêng của $A$ ứng với $\mathbf{x}_1$ và $\lambda_2 = -1$ là trị riêng của $A$ ứng với $\mathbf{x}_2$.\\
\textbf{Giải:}
Để kiểm chứng $\lambda_1 = 5$ là trị riêng của $A$ ứng với $\mathbf{x}_1$, nhân các ma trận $A$ và $\mathbf{x}_1$ như sau
\begin{align*}
A\mathbf{x}_1 = \left[\begin{matrix}
1 & 4 \\
2& 3
\end{matrix} \right] \left[\begin{matrix}
2 \\
-1
\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}
-2 \\
1
\end{matrix} \right] = -1 \left[\begin{matrix}
2 \\
-1
\end{matrix} \right] =\lambda_2 \mathbf{x}_2
\end{align*}
Tương tự, để kiểm chứng $\lambda_2 = -1$ là trị riêng của $A$ ứng với $\mathbf{x}_2$, nhân các ma trận $A$ và $\mathbf{x}_2$ như sau
\begin{align*}
A\mathbf{x}_2 = \left[\begin{matrix}
1 & 4 \\
2& 3
\end{matrix} \right] \left[\begin{matrix}
1 \\
1
\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}
5 \\
5
\end{matrix} \right] = 5 \left[\begin{matrix}
1 \\
1
\end{matrix} \right] =\lambda_1 \mathbf{x}_1
\end{align*}
Vậy làm thế nào để xác định các giá trị riêng và các vector riêng tương ứng? Phương trình $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$ theo dạng tương đương
\begin{equation}
(\lambda I - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}
\end{equation}
trong đó $I$ là ma trận đơn vị $n\times n$. Hệ phương trình thuần nhất có nghiệm khác không khi và chỉ khi ma trận hệ số $(\lambda I - A)$ là kì dị, tức là định thức của $(\lambda I - A)$ bằng không. Phương trình $\det(\lambda I - A) =0$ được gọi là \textbf{phương trình đặc trưng} của $A$, và là phương trình đa thức bậc $n$ theo biến $\lambda$. Khi ta tìm được các trị riêng của $A$, ta có thể sử dụng phép khử Gauss để tìm các vector riêng tương ứng.
\\
\textbf{Ví dụ:} Tìm các trị riêng và các vector riêng của ma trận $A= \left[\begin{matrix}
1 & 4 \\
2& 3
\end{matrix} \right]$.\\
\textbf{Giải:}
Phương trình đặc trưng của $A$ là
\begin{align*}
|\lambda I - A| &=\left|\left[\begin{matrix}
\lambda & 0 \\
0 & \lambda
\end{matrix} \right] - \left[\begin{matrix}
1 & 4 \\
2 & 3
\end{matrix} \right] \right| \\
&=\left|\begin{matrix}
\lambda - 1 & -4 \\
-2 & \lambda -3
\end{matrix} \right|\\
&=\lambda^2 -4\lambda +3 - 8 \\
&=\lambda^2 -4\lambda - 5 \\
&=(\lambda-5)(\lambda +1 ) = 0
\end{align*}
Ta có hai trị riêng, $\lambda_1 = 5$ và $\lambda_2=-1$.
Để tìm các vector riêng tương ứng, giải hệ tuyến tính $(\lambda I - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}$. Với $\lambda_1=5$, ma trận hệ số là
\begin{align*}
5I-A = \left[\begin{matrix}
5 & 0 \\
0 & 5
\end{matrix} \right] - \left[\begin{matrix}
1 & 4 \\
2 & 3
\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}
4 & -4 \\
-2 & 2
\end{matrix} \right]
\end{align*}
rút gọn hàng ta được
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
1 & -1 \\
0 & 0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Các nghiệm của hệ thuần nhất có ma trận hệ số có dạng
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
t \\
t
\end{matrix} \right]
\end{align*}
trong đó $t$ là số thực. Do đó, các vector riêng tương ứng với trị riêng $\lambda_1=5$ là bội số vô hướng khác không của
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
1 \\
1
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Tương tự, với $\lambda_2=-1$, ma trận hệ số tương ứng là
\begin{align*}
-I-A = \left[\begin{matrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{matrix} \right] - \left[\begin{matrix}
1 & 4 \\
2 & 3
\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}
-2 & -4 \\
-2 & -4
\end{matrix} \right]
\end{align*}
rút gọn hàng ta được
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
1 & 2 \\
0 & 0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Các nghiệm của hệ thuần nhất có ma trận hệ số có dạng
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
2t \\
-t
\end{matrix} \right]
\end{align*}
trong đó $t$ là số thực. Do đó, các vector riêng tương ứng với trị riêng $\lambda_2=-1$ là bội số vô hướng khác không của
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
2 \\
-1
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\\
\textbf{Ví dụ:} Tìm các trị riêng và các vector riêng của ma trận $A= \left[\begin{matrix}
1 & 2 &-2 \\
1 & 2 & 1\\
-1&-1 & 0
\end{matrix} \right]$.\\
\textbf{Giải:}
Phương trình đặc trưng của $A$ là
\begin{align*}
|\lambda I - A| &=\left|\left[\begin{matrix}
\lambda & 0 & 0 \\
0& 0 & \lambda \\
0 & 0 & \lambda
\end{matrix} \right] - \left[\begin{matrix}
1 & 2 &-2 \\
1 & 2 & 1\\
-1&-1 & 0
\end{matrix} \right] \right| =\left|\begin{matrix}
\lambda - 1 & -2 & 2 \\
-1 & \lambda -2 & -1 \\
1 & 1 & \lambda
\end{matrix} \right|\\
&= (\lambda -1)\left|\begin{matrix}
\lambda -2 & -1 \\
1 & \lambda
\end{matrix} \right| -(-2)\left|\begin{matrix}
-1 & -1 \\
1 &\lambda
\end{matrix} \right| +2\left|\begin{matrix}
-1 & \lambda -2 \\
1 & 1
\end{matrix} \right| \\
&= (\lambda-1)(\lambda^2-2\lambda+1)+2(-\lambda+1)+2(-1-\lambda+2) \\
&=\lambda^3-3\lambda^2 -\lambda +3 =(\lambda^2-1)(\lambda -3 ) = 0
\end{align*}
Ta có ba trị riêng, $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2=-1$ và $\lambda_3=3$.
Để tìm các vector riêng tương ứng, giải hệ tuyến tính $(\lambda I - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}$. Với $\lambda_1=1$, ma trận hệ số là
\begin{align*}
I-A = \left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix} \right] - \left[\begin{matrix}
1 & 2 & -2 \\
1 & 2 & 1 \\
-1 & -1 & 0
\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}
0 & -2 & 2 \\
-1 & -1 & -1 \\
1 &1&1
\end{matrix} \right]
\end{align*}
rút gọn hàng ta được
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
1 & 0&2 \\
0 & 1 &-1 \\
0&0&0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Các nghiệm của hệ thuần nhất có ma trận hệ số có dạng
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
-2t \\
t \\
t
\end{matrix} \right]
\end{align*}
trong đó $t$ là số thực. Do đó, các vector riêng tương ứng với trị riêng $\lambda_1=1$ là bội số vô hướng khác không của
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
-2 \\
1 \\
1
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Tương tự, với $\lambda_2=-1$, ma trận hệ số tương ứng là
\begin{align*}
-I-A = \left[\begin{matrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0&0&-1
\end{matrix} \right] - \left[\begin{matrix}
1 & 1&-2 \\
1 & 2 &1\\
-1&-1&0
\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}
-2 & -2 &2 \\
-1 & -3 &-1\\
1&1&-2
\end{matrix} \right]
\end{align*}
rút gọn hàng ta được
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
1 & 0& -2 \\
0 & 1&1\\
0&0&0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Các nghiệm của hệ thuần nhất có ma trận hệ số có dạng
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
2t \\
-t \\
t
\end{matrix} \right]
\end{align*}
trong đó $t$ là số thực. Do đó, các vector riêng tương ứng với trị riêng $\lambda_2=-1$ là bội số vô hướng khác không của
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
2 \\
-1\\
1
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Với $\lambda_3=3$, ma trận hệ số tương ứng là
\begin{align*}
3I-A = \left[\begin{matrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0&0&3
\end{matrix} \right] - \left[\begin{matrix}
1 & 1&-2 \\
1 & 2 &1\\
-1&-1&0
\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}
2 & -2 &2 \\
-1 & 1 &-1\\
1&1&3
\end{matrix} \right]
\end{align*}
rút gọn hàng ta được
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
1 & 0& 2 \\
0 & 1&1\\
0&0&0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Các nghiệm của hệ thuần nhất có ma trận hệ số có dạng
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
-2t \\
-t \\
t
\end{matrix} \right]
\end{align*}
trong đó $t$ là số thực. Do đó, các vector riêng tương ứng với trị riêng $\lambda_3=3$ là bội số vô hướng khác không của
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
-2 \\
-1\\
1
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\section{Ứng dụng của định thức}
\subsection{Liên hợp của ma trận}
\subsubsection{Định nghĩa ma trận liên hợp}
Nếu $A$ là ma trận vuông, khi đó \textbf{phần phụ đại số của ma trận} $A$ có dạng
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\
C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\
\cdot & \cdot & &\cdot \\
\cdot & \cdot & &\cdot \\
\cdot & \cdot & &\cdot \\
C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn}
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Chuyển vị ma trận này gọi là \textbf{liên hợp} của $A$ và được kí hiệu là ${\rm adj} (A)$. Đó là
\begin{align*}
{\rm adj} (A) = \left[\begin{matrix}
C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\
C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\
\cdot & \cdot & &\cdot \\
\cdot & \cdot & &\cdot \\
\cdot & \cdot & &\cdot \\
C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn}
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\\
\textbf{Ví dụ:} Tìm liên hợp của ma trận
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
-1 & 3 &2 \\
0 & -2 &1\\
1&0&-2
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Phần bù đại số $C_{11}$ được cho bởi
\begin{align*}
C_{11}=(-1)^2\left|\begin{matrix}
-2 &1\\
0&-2
\end{matrix} \right|=4.
\end{align*}
Tiếp tục tính toán các phần bù đại số khác của ma trận $A$. Khi đó, ta có ma trận của các phần bù đại số của $A$ là
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
\left|\begin{matrix}
-2 &1\\
0&-2
\end{matrix} \right| & -\left|\begin{matrix}
0 &1\\
1&-2
\end{matrix} \right| & \left|\begin{matrix}
0 &-2\\
1&0
\end{matrix} \right| \\
-\left|\begin{matrix}
3 &2\\
0&-2
\end{matrix} \right| & \left|\begin{matrix}
-1 &2\\
1&-2
\end{matrix} \right| &-\left|\begin{matrix}
-1 &3\\
1&0
\end{matrix} \right|\\
\left|\begin{matrix}
3 &2\\
-2&1
\end{matrix} \right|&-\left|\begin{matrix}
-1 &2\\
0&1
\end{matrix} \right|&\left|\begin{matrix}
-1 &3\\
0&-2
\end{matrix} \right|
\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}
4 & 1 &2 \\
6 & 0 &3\\
7&1&2
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Ma trận chuyển vị của ma trận liên hợp $A$ là
\begin{align*}
{\rm adj}(A) = \left[\begin{matrix}
4 & 6 &7 \\
1 & 0 &1\\
2&3&2
\end{matrix} \right].
\end{align*}
\subsubsection{Nghịch đảo của ma trận cho bởi liên hợp của nó}
Nếu $A$ là ma trận khả nghịch $n\times n$, khi đó
\begin{equation}
A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} {\rm adj}(A).
\end{equation}
\\
\textbf{Ví dụ:} Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
-1 & 3 &2 \\
0 & -2 &1\\
1&0&-2
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\\
\textbf{Giải:}\\
Dễ dàng tính được $|A|=3$. Khi đó định thức của ma trận nghịch đảo $|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|} =\dfrac{1}{3}$.\\
Ma trận nghịch đảo của $A$ là
\begin{align*}
A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}{\rm adj}(A) = \dfrac{1}{3} \left[\begin{matrix}
4 & 6 &7 \\
1 & 0 &1\\
2&3&2
\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}
\frac{1}{4} & 2 &\frac{7}{3} \\
\frac{1}{3} & 0 &\frac{1}{3}\\
\frac{2}{3}&1&\frac{2}{3}
\end{matrix} \right] .
\end{align*}
Ta có thể kiểm tra lại bằng cách nhân ma trận $A$ với ma trận $A^{-1}$
\begin{align*}
AA^{-1} = \left[\begin{matrix}
-1 & 3 &2 \\
0 & -2 &1\\
1&0&-2
\end{matrix} \right] \left[\begin{matrix}
\frac{1}{4} & 2 &\frac{7}{3} \\
\frac{1}{3} & 0 &\frac{1}{3}\\
\frac{2}{3}&1&\frac{2}{3}
\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}
1 & 0 &0 \\
0 & 1 &0\\
0&0&1
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\subsection{Quy tắc Cramer}
Nếu hệ $n$ phương trình tuyến tính theo $n$ biến có một ma trận hệ số với một định thức $|A|$ khác không, khi đó nghiệm của hệ được cho bởi
\begin{equation}
x_1 = \dfrac{\det(A_1)}{\det(A)}, x_2 = \dfrac{\det(A_2)}{\det(A)}, \cdots , x_n = \dfrac{\det(A_n)}{\det(A)} ,
\end{equation}
trong đó cột thứ $i$ của $A_i$ là cột các hằng số trong hệ phương trình.
\\\\
\textbf{Ví dụ:} Sử dụng quy tắc Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính sau
\begin{align*}
\begin{matrix}
4x_1-2x_2&=10\\
3x_1-5x_2&=11
\end{matrix}
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Đầu tiên ta tính định thức ma trận hệ số
\begin{align}
|A|=\left|\begin{matrix}
4 & -2 \\
3 & -5
\end{matrix} \right| = -14.
\end{align}
Do $|A|\neq 0$, hệ có nghiệm duy nhất, áp dụng quy tắc Cramer
\begin{align*}
x_1&=\dfrac{|A_1|}{|A|} = \dfrac{\left|\begin{matrix}
10 & -2 \\
11 & -5
\end{matrix} \right|}{-14} = \dfrac{-28}{-14} = 2 \\
x_2&=\dfrac{|A_2|}{|A|} = \dfrac{\left|\begin{matrix}
4&10 \\
3&11
\end{matrix} \right|}{-14} = \dfrac{14}{-14} = -1 .
\end{align*}
Nghiệm là $x_1=2$ và $x_2=-1$.
\\\\
\textbf{Ví dụ:} Sử dụng quy tắc Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính sau cho $x$
\begin{align*}
\begin{matrix}
-x+2y-3z&=1\\
2x+z&=0\\
3x-4y+4z=2
\end{matrix}
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Định thức ma trận hệ số là
\begin{align}
|A|=\left|\begin{matrix}
-1 & 2 & -3 \\
2 & 0 & 1\\
3&-4&4
\end{matrix} \right| = 10.
\end{align}
Do $|A|\neq 0$, hệ có nghiệm duy nhất, áp dụng quy tắc Cramer cho $x$ như sau
\begin{align*}
x= \dfrac{\left|\begin{matrix}
1 & 2 & -3 \\
0 & 0 & 1\\
2&-4&4
\end{matrix} \right|}{10} = \dfrac{(1)(-1)^5\left|\begin{matrix}
1 & 2 \\
2&-4
\end{matrix} \right|}{10} =\dfrac{(1)(-1)(-8)}{10}= \dfrac{4}{5}
\end{align*}
\subsection{Diện tích, thể tích, và các phương trình đường thẳng và mặt phẳng}
\subsubsection{Diện tích tam giác trong mặt phẳng $xy$}
Diện tích của tam giác có các đỉnh $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ và $(x_3,y_3)$ được cho bởi
\begin{equation}
\text{Diện tích } = \pm\dfrac{1}{2} \det
\left[\begin{matrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{matrix} \right]
\end{equation}
trong đó dấu ($\pm$) được chọn để cho diện tích mang giá trị dương.
\subsubsection{Kiểm tra các điểm thẳng hàng}
Ba điểm $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ và $(x_3,y_3)$ thẳng hàng khi và chỉ khi
\begin{equation}
\det
\left[\begin{matrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{matrix} \right] = 0.
\end{equation}
\subsubsection{Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm}
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt $(x_1,y_1)$ và $(x_2,y_2)$ được cho bởi
\begin{equation}
\det
\left[\begin{matrix}
x & y & 1 \\
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1
\end{matrix} \right] = 0.
\end{equation}
\subsubsection{Thể tích của tứ diện}
Thể tích của tứ diện có các đỉnh $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$, $(x_3,y_3,z_3)$ và $(x_4,y_4,z_4)$ được cho bởi
\begin{equation}
\text{Thể tích } = \pm\dfrac{1}{6} \det
\left[\begin{matrix}
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{matrix} \right]
\end{equation}
trong đó dấu ($\pm$) được chọn để cho thể tích mang giá trị dương.
\subsubsection{Kiểm tra các điểm đồng phẳng}
Bốn điểm $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$, $(x_3,y_3,z_3)$ và $(x_4,y_4,z_4)$ đồng phẳng khi và chỉ khi
\begin{equation}
\det
\left[\begin{matrix}
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{matrix} \right] = 0.
\end{equation}
\subsubsection{Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm}
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$ và $(x_3,y_3,z_3)$ được cho bởi
\begin{equation}
\det
\left[\begin{matrix}
x & y & z & 1 \\
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1
\end{matrix} \right] = 0.
\end{equation}
Đăng ký:
Nhận xét (Atom)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét