Phép biến đổi tuyến tính

\section{Giới thiệu các phép biến đổi tuyến tính} \subsection{Định nghĩa} Gọi $V$ và $W$ là các không gian vector. Hàm $T: V\to W$ được gọi là \textbf{phép biến đổi tuyến tính} của $V$ vào $W$ nếu hai tính chất sau là đúng với mọi $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ trong $V$ và với bất kì vô hướng $c$. \begin{enumerate} \item $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$. \item $T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})$. \end{enumerate} \subsection{Tính chất} Gọi $T$ là phép biến đổi tuyến tính từ $V$ vào $W$, trong đó $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ trong $V$. Khi đó các tính chất sau là đúng. \begin{enumerate} \item $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$. \item $T(-\mathbf{v})=-T(\mathbf{v})$. \item $T(\mathbf{u}-\mathbf{v})=T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v})$. \item Nếu $\mathbf{v}=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2 +\cdots + c_n\mathbf{v}_n$ thì \begin{align} T(\mathbf{v})&=T(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2 +\cdots + c_n\mathbf{v}_n) \\ &=c_1T(\mathbf{v}_1)+c_2T(\mathbf{v}_2) +\cdots + c_nT(\mathbf{v}_n) \end{align} \end{enumerate} \subsection{Biến đổi tuyến tính được cho bởi một ma trận} Cho $A$ là ma trận cấp $M\times n$. Hàm $T$ được xác định bởi \begin{equation} T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v} \end{equation} là một phép biến đổi tuyến tính từ $\mathbb{R}^n$ sang $\mathbb{R}^m$. Để phù hợp với phép nhân ma trận với một ma trận cấp $m\times n$, các vector trong $\mathbb{R}^n$ được biểu diễn bởi các ma trận cấp $n\times 1$ và các vector trong $\mathbb{R}^m$ được biểu diễn bởi các ma trận cấp $m\times 1$. \section{Nhân và khoảng của phép biến đổi tuyến tính} \subsection{Nhân của phép biến đổi tuyến tính} \subsubsection{Định nghĩa} Gọi $T:V\to W$ là một phép biến đổi tuyến tính. Khi đó tập các vector $\mathbf{v}$ trong $V$ thỏa mãn $T(\mathbf{v})=\mathbf{0}$ được gọi là \textbf{nhân} của $T$ và được kí hiệu là $\ker (T)$. \subsubsection{Nhân là một không gian con của $V$} Nhân của phép biến đổi tuyến tính $T: V\to W$ là một không gian con của miền xác định $V$.\\ \textbf{Ví dụ:} Cho $T: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^4$ được xác định bởi $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$, trong đó $\mathbf{x}$ trong $\mathbb{R}^5$ và \begin{align*} A = \left[ \begin{matrix} 1&2&0&1&-1\\ 2&1&3&1&0\\ -1&0&-2&0&1\\ 0&0&0&2&8 \end{matrix} \right] \end{align*} Tìm cơ sở cho $\ker(T)$ là không gian con của $\mathbb{R}^5$.\\ \textbf{Giải:}\\ Rút gọn ma trận mở rộng $\left[ A \mid \mathbf{0} \right]$ thành dạng bậc thang như sau \begin{align*} \left[ \begin{matrix} 1&0&2&0&-1&0\\ 0&1&-1&0&-2&0\\ 0&0&0&1&4&0\\ 0&0&0&0&0&0 \end{matrix} \right] \end{align*} hay \begin{align*} x_1 &=-2x_3+x_5\\ x_2 &= x_3+2x_5\\ x_4 &= -4x_5 \end{align*} Cho $x_3=s$ và $x_5=5$, ta có \begin{align*} \mathbf{x}= \left[ \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -2s+t\\ s+2t\\ s+0t\\ 0s-4t\\ 0s+t \end{matrix} \right] = s \left[ \begin{matrix} -2\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right] + t\left[ \begin{matrix} 1\\ 2\\ 0\\ -4\\ 1 \end{matrix} \right] \end{align*} Do đó, một cơ sở cho nhân của $T$ là \begin{align*} B=\{(-2,1,1,0,0),(1,2,0,-4,1)\} \end{align*} \subsection{Khoảng của phép biến đổi tuyến tính} \subsubsection{Khoảng của $T$ là một không gian con của $W$} Khoảng của phép biến đổi tuyến tính $T: V\to W$ là một không gian con của $W$.\\ \textbf{Hệ quả:} Cho $T: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ là phép biến đổi tuyến tính được cho bởi $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$. Khi đó không gian cột của $A$ bằng với khoảng của $T$. \subsubsection{Hạng và hạch của phép biến đổi tuyến tính} Cho $T: V\to W$ là phép biến đổi tuyến tính. Số chiều của nhân $T$ được gọi là \textbf{hạch} của $T$ và được kí hiệu là ${\rm nullity}(T)$. Số chiều của khoảng $T$ được gọi là \textbf{hạng} của $T$ và được kí hiệu là ${\rm rank}(T)$. \subsubsection{Tổng của hạng và hạch} Cho $T: V\to W$ là phép biến đổi tuyến tính từ không gian vector $V$ có $n$ chiều sang không gian vector $W$. Khi đó tổng số chiều của khoảng và nhân bằng với số chiều của miền xác định. Tức là \begin{align} {\rm rank}(T)+{\rm nullity}(T)=n \end{align} hay \begin{align} \dim (\text{khoảng})+\dim(\text{nhân})=\dim (\text{miền}) \end{align} \subsection{Đơn ánh và song ánh} \subsubsection{Đơn ánh} Cho $T: V\to W$ là phép biến đổi tuyến tính. Khi đó $T$ là đơn ánh khi và chỉ khi $\ker(T)=\{\mathbf{0}\}$. \subsubsection{Song ánh} Cho $T: V\to W$ là phép biến đổi tuyến tính, trong đó $W$ hữu hạn chiều. Khi đó $T$ là song ánh khi và chỉ khi hạng của $T$ bằng với số chiều của $W$. \subsubsection{Đơn ánh và song ánh} Cho $T: V\to W$ là phép biến đổi tuyến tính với cả $V$ và $W$ có $n$ chiều. Khi đó $T$ đơn ánh khi và chỉ khí nó song ánh. \subsection{Đẳng cấu không gian vector} \subsubsection{Định nghĩa đẳng cấu} Phép biến đổi tuyến tính $T: V\to W$ đơn ánh và song ánh được gọi là \textbf{đẳng cấu}. Hơn nữa, nếu $V$ và $W$ là các không gian vector sao cho tồn tại một đẳng cấu từ $V$ sang $W$, khi đó $V$ và $W$ được gọi là \textbf{đẳng cấu} với nhau. \subsubsection{Không gian đẳng cấu và số chiều} Hai không gian vector hữu hạn chiều $V$ và $W$ đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều. \section{Ma trận cho phép biến đổi tuyến tính} \subsection{Ma trận chuẩn cho một phép biến đổi tuyến tính} \subsection{Hợp các phép biến đổi tuyến tính} \subsection{Định nghĩa nghịch đảo phép biến đổi tuyến tính} \subsection{Sự tồn tại của phép biến đổi nghịch đảo} \subsection{Hệ cơ sở không chuẩn và không gian vector tổng quát} \subsubsection{Ma trận biến đổi cho hệ cơ sở không chuẩn} \section{Ma trận chuyển cơ sở và sự đồng dạng} \subsection{Ma trận đồng dạng} \subsubsection{Định nghĩa} Với ma trận vuông $A$ và $A'$ cấp $n$, $A'$ được gọi là \textbf{đồng dạng} với $A$ nếu tồn tại một ma trận khả nghịch $P$ sao cho $A'=P^{-1}AP$. \subsubsection{Tính chất} Cho $A$, $B$ và $C$ là các ma trận vuông cấp $n$. Khi đó ta có các tính chất sau \begin{enumerate} \item $A$ đồng dạng với $A$. \item Nếu $A$ đồng dạng với $B$ thì $B$ cũng đồng dạng với $A$. \item Nếu $A$ đồng dạng với $B$ và $B$ đồng dạng với $C$ thì $A$ đồng dạng với $C$. \end{enumerate} \section{Ứng dụng của phép biến đổi tuyến tính} \subsection{Hình học của phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng} \subsection{Đồ họa máy tính}