Không gian vector
\section{Vector trong $\mathbb{R}^n$}
\subsection{Vector trong mặt phẳng}
\subsubsection{Các định nghĩa}
Một \textbf{vector trong mặt phẳng} được biểu diễn hình học bằng một \textbf{đoạn thẳng có hướng} với \textbf{điểm đầu} là gốc và \textbf{điểm cuối} là điểm $(x_1,x_2)$. Vector này được biểu diễn bằng \textbf{cặp theo thứ tự giống nhau} sử dụng để biểu diễn điểm cuối. Đó là
\begin{equation}
\mathbf{x} = (x_1,x_2).
\end{equation}
Các tọa độ $x_1$ và $x_2$ được gọi là các \textbf{thành phần} của vector $\mathbf{x}$. Hai vector $\mathbf{u}=(u_1,u_2)$ và $\mathbf{v}=(v_1,v_2)$ trong mặt phẳng là \textbf{bằng nhau} khi và chỉ khi $u_1 = v_1$ và $u_2=v_2$.
Phép tính vector cơ bản đầu tiên là phép \textbf{cộng vector}. Để cộng hai vector trong mặt phẳng, ta cộng các thành phần tương ứng của chúng. Tức là, \textbf{tổng} của $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là vector
\begin{equation}
\mathbf{u}+\mathbf{v} = (u_1,u_2) + (v_1,v_2) = (u_1+v_1,u_2+v_2).
\end{equation}
Về phương diện hình học, tổng của hai vector trong mặt phẳng được biểu diễn là đường chéo của hình bình hành có $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là các cạnh kề.
\textbf{Vector không} là vector $(0,0)$, được kí hiệu là $\mathbf{0}$.
Phép tính vector cơ bản thứ hai gọi là phép \textbf{nhân vô hướng}. Để nhân một vector $\mathbf{v}$ với vô hướng $c$, ta nhân mỗi phần từ của $\mathbf{v}$ với $c$. Đó là
\begin{equation}
c\mathbf{v}=c(v_1,v_2)=(cv_1,cv_2).
\end{equation}
Tích của một vector $\mathbf{v}$ và vô hướng $(-1)$ được kí hiệu
\begin{equation}
-\mathbf{v} = (-1)\mathbf{v} .
\end{equation}
Vector $-\mathbf{v}$ được gọi là \textbf{đối} của $\mathbf{v}$. \textbf{Hiệu} của $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ được xác định như sau
\begin{equation}
\mathbf{u}-\mathbf{v} =\mathbf{u} + (-\mathbf{v}) ,
\end{equation}
và ta nói $\mathbf{u}$ \textbf{trừ} $\mathbf{v}$.
\subsubsection{Các tính chất của phép cộng vector và phép nhân vô hướng trong mặt phẳng}
Gọi $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ và $\mathbf{w}$ là các vector trong mặt phẳng, và gọi $c$ và $d$ là các vô hướng.
\begin{itemize}
\item $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ là một vector trong mặt phẳng.
\item $\mathbf{u}+\mathbf{v} = \mathbf{v}+\mathbf{u}$. (tính giao hóa của phép cộng)
\item $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{u}+\mathbf{w} = \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{u}+\mathbf{w})$. (Tính kết hợp của phép cộng)
\item $\mathbf{u}+\mathbf{0} = \mathbf{u}$ .
\item $\mathbf{u}+(-\mathbf{u}) = \mathbf{0}$. (Tính nghịch đảo của phép cộng).
\item $c\mathbf{u}$ là một vector trong mặt phẳng.
\item $c(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = c\mathbf{u}+c\mathbf{v}$. (Tính phân phối)
\item $(c+d)\mathbf{u}=c\mathbf{u}+d\mathbf{u}$. (Tính phân phối)
\item $c(d\mathbf{u})=(cd)\mathbf{u}$. (Tính kết hợp của phép nhân)
\item $1(\mathbf{u})=\mathbf{u}$.
\end{itemize}
\subsection{Vector trong $\mathbb{R}^n$}
\subsubsection{Các định nghĩa}
Vector có thể được mở rộng trong không gian $n$ chiều. Một vector trong không gian $n$ chiều được biểu diễn bởi một \textbf{bộ $n$ phần tử theo thứ tự}. Bộ tất cả $n$ phần tử được gọi là \textbf{không gian $n$ chiều} và được kí hiệu là $\mathbb{R}^n$.
Bộ $(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n)$ có thể được xem như một \textbf{điểm} trong $\mathbb{R}^n$ với các $x_i$ là tọa độ của nó hoặc là một \textbf{vector}
\begin{equation}
\mathbf{x} = (x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n).
\end{equation}
với các $x_i$ là các thành phần của nó. Hai vector trong $\mathbb{R}^n$ là \textbf{bằng nhau} khi và chỉ khi các thành phần bằng nhau.
Tổng của hai vector trong $\mathbb{R}^n$ và phép nhân vô hướng của một vector trong $\mathbb{R}^n$ được gọi là các \textbf{phép tính chuẩn trong $\mathbb{R}^n$} và được xác định dưới đây.
\subsubsection{Định nghĩa phép cộng và nhân vô hướng vector trong $\mathbb{R}^n$}
Gọi $\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3,\cdots,u_n)$, $\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3,\cdots,v_n)$ là các vector trong $\mathbb{R}^n$ và gọi $c$ là một số thực. Khi đó tổng của $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ được xác định như một vector
\begin{equation}
\mathbf{u}+\mathbf{v} = (u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3,\cdots,u_n+v_n),
\end{equation}
và phép \textbf{nhân vô hướng} của $\mathbf{u}$ với $c$ được xác định như một vector
\begin{equation}
c\mathbf{u}=(c u_1,c u_2,c u_3,\cdots,c u_n).
\end{equation}
\textbf{Đối} của một vector trong $\mathbb{R}^n$ được xác định như sau
\begin{equation}
-\mathbf{u}=(-u_1,-u_2,-u_3,\cdots,-u_n)
\end{equation}
và \textbf{hiệu} của hai vector trong $\mathbb{R}^n$ được xác định như sau
\begin{equation}
\mathbf{u}-\mathbf{v} = (u_1-v_1,u_2-v_2,u_3-v_3,\cdots,u_n-v_n).
\end{equation}
\textbf{Vector không} trong $\mathbb{R}^n$ được kí hiệu là $\mathbf{0}=(0,0,0,\cdots,0)$.
\subsubsection{Các tính chất của phép cộng vector và phép nhân vô hướng trong $\mathbb{R}^n$}
Gọi $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ và $\mathbf{w}$ là các vector trong $\mathbb{R}^n$, và gọi $c$ và $d$ là các vô hướng.
\begin{itemize}
\item $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ là một vector trong $\mathbb{R}^n$.
\item $\mathbf{u}+\mathbf{v} = \mathbf{v}+\mathbf{u}$. (tính giao hóa của phép cộng)
\item $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{u}+\mathbf{w} = \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{u}+\mathbf{w})$. (Tính kết hợp của phép cộng)
\item $\mathbf{u}+\mathbf{0} = \mathbf{u}$ .
\item $\mathbf{u}+(-\mathbf{u}) = \mathbf{0}$. (Tính nghịch đảo của phép cộng).
\item $c\mathbf{u}$ là một vector trong $\mathbb{R}^n$.
\item $c(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = c\mathbf{u}+c\mathbf{v}$. (Tính phân phối)
\item $(c+d)\mathbf{u}=c\mathbf{u}+d\mathbf{u}$. (Tính phân phối)
\item $c(d\mathbf{u})=(cd)\mathbf{u}$. (Tính kết hợp của phép nhân)
\item $1(\mathbf{u})=\mathbf{u}$.
\end{itemize}
\subsubsection{Các tính chất bất biến của phép cộng và nghịch đảo phép cộng}
Gọi $\mathbf{v}$ là một vector trong $\mathbb{R}^n$, và gọi $c$ là một vô hướng. Khi đó ta có các tính chất sau
\begin{itemize}
\item Bất biến của phép cộng là duy nhất. Đó là, nếu $\mathbf{v}+\mathbf{u}=\mathbf{v}$ thì $\mathbf{u}=\mathbf{0}$.
\item Nghịch đảo phép cộng của $\mathbf{v}$ là duy nhất. Đó là, nếu $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{0}$, thì $\mathbf{u}=-\mathbf{v}$.
\item $0\mathbf{v}=\mathbf{0}$.
\item $c\mathbf{0} =\mathbf{0}$.
\item Nếu $c\mathbf{v} =\mathbf{0}$ thì $c=0$ hoặc $\mathbf{v}=\mathbf{0}$.
\item $-(-\mathbf{v})=\mathbf{v}$.
\end{itemize}
Vector $\mathbf{x}$ có thể được viết như tổng của các tích vô hướng của các vector khác là $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n$. Đó là
\begin{equation}
\mathbf{x}=c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots +c_n \mathbf{v}_n.
\end{equation}
Vector $\mathbf{x}$ được gọi là \textbf{tổ hợp tuyến tính} của các vector $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n$.\\
\textbf{Ví dụ:} Cho các vector $\mathbf{x}=(-1,-2,-2)$, $\mathbf{u}=(0,1,4)$, $\mathbf{v}=(-1,1,2)$ và $\mathbf{w}=(3,1,2)$ trong $\mathbb{R}^3$. Hãy tìm các vô hướng $a$, $b$ và $c$ sao cho
\begin{align*}
\mathbf{x}=a\mathbf{u}+b\mathbf{v}+c\mathbf{w}
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Bằng cách viết
\begin{align*}
(-1,-2,-2)&=a(0,1,4)+b(-1,1,2)+c(3,1,2)\\
&=(-b+3c,a+b+c,4a+2b+2c)
\end{align*}
ta đồng nhất các thành phần vector, ta có được hệ 3 phương trình tuyến tính theo $a$, $b$ và $c$ dưới đây
\begin{align*}
-b+3c&=-1\\
a+b+c&=-2\\
4a+2b+2c&=-2
\end{align*}
Giải cho $a$, $b$ và $c$ thu được: $a=1$, $b=-2$ và $c=-1$.\\
$\mathbf{x}$ có thể được viết như tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ và $\mathbf{c}$.
\begin{align*}
\mathbf{x}=\mathbf{u}-2\mathbf{v}-\mathbf{w}
\end{align*}\\
Ta thường biểu diễn vector $\mathbf{u}=(u_1,u_2,\cdots,u_n)$ trong $\mathbb{R}^n$ như một ma trận hàng $1\times n$ (vector hàng)
\begin{equation}
\mathbf{u}=\left[\begin{matrix}
u_1 & u_2 & \cdots & u_n
\end{matrix} \right] ,
\end{equation}
hoặc một ma trận cột $n\times 1$ (vector cột)
\begin{equation}
\mathbf{u}=\left[\begin{matrix}
u_1 \\
u_2 \\
\cdot \\
\cdot\\
\cdot \\
u_n
\end{matrix} \right].
\end{equation}
Cách biểu diễn này hợp lý do các phép tính cộng ma trận và nhân ma trận với vô hướng đều đưa ra cùng kết quả tương ứng với các phép tính vector. Cụ thể, tổng các ma trận
\begin{align}
\mathbf{u}+\mathbf{v} &= \left[\begin{matrix}
u_1 & u_2 & \cdots & u_n
\end{matrix} \right] + \left[\begin{matrix}
v_1 & v_2 & \cdots & v_n
\end{matrix} \right] \\
&=\left[\begin{matrix}
u_1+v_1 & u_2+v_2 & \cdots & u_n+v_n
\end{matrix} \right]
\end{align}
và
\begin{align}
\mathbf{u}+\mathbf{v} &=\left[\begin{matrix}
u_1 \\
u_2 \\
\cdot \\
\cdot\\
\cdot \\
u_n
\end{matrix} \right]+\left[\begin{matrix}
v_1 \\
v_2 \\
\cdot \\
\cdot\\
\cdot \\
v_n
\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}
u_1+v_1 \\
u_2+v_2 \\
\cdot \\
\cdot\\
\cdot \\
u_n+v_n
\end{matrix} \right]
\end{align}
Các kết quả giống như phép cộng vector
\begin{align}
\mathbf{u}+\mathbf{v} = (u_1,u_2,\cdots,u_n)+(v_1,v_2,\cdots,v_n) = (u_1+v_1,u_2+v_2,\cdots,u_n+v_n)
\end{align}
Tương tự cho phép nhân ma trận với vô hướng.
\section{Không gian vector}
\subsection{Định nghĩa không gian vector}
Gọi $V$ là tập hợp mà trên đó hai phép tính (\textbf{cộng vector} và \textbf{nhân vô hướng}) được xác định. Nếu các tiên đề liệt kê dưới đây được thỏa mãn cho mọi $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, và $\mathbf{w}$ trong $V$ và mọi vô hướng (số thực) $c$ và $d$, khi đó $V$ được gọi là một \textbf{không gian vector}.
\begin{itemize}
\item $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ trong $V$.
\item $\mathbf{u}+\mathbf{v} = \mathbf{v}+\mathbf{u}$.
\item $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{u}+\mathbf{w} = \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{u}+\mathbf{w})$.
\item $V$ có \textbf{vector không} $\mathbf{0}$ sao cho với mọi $\mathbf{u}$ trong $V$, $\mathbf{u}+\mathbf{0} = \mathbf{u}$ .
\item Với mọi $\mathbf{u}$ trong $V$, có một vector trong $V$ được kí hiệu $-\mathbf{u}$ sao cho $\mathbf{u}+(-\mathbf{u}) = \mathbf{0}$.
\item $c\mathbf{u}$ trong $V$.
\item $c(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = c\mathbf{u}+c\mathbf{v}$.
\item $(c+d)\mathbf{u}=c\mathbf{u}+d\mathbf{u}$.
\item $c(d\mathbf{u})=(cd)\mathbf{u}$.
\item $1(\mathbf{u})=\mathbf{u}$.
\end{itemize}
Như vậy, một không gian vector bao gồm bốn thành phần: bộ các vector, bộ các vô hướng và hai phép tính.
\subsection{Các không gian vector quan trọng}
\begin{itemize}
\item $R$ = tập hợp tất cả các số thực
\item $\mathbb{R}^2$ = tập hợp các cặp số thực
\item $\mathbb{R}^3$ = tập hợp bộ 3 số thực
\item $\mathbb{R}^n$ = tập hợp bộ $n$ số thực
\item $C(-\infty,\infty)$ = tập hợp tất cả các hàm liên tục xác định trên đường số thực
\item $C[a,b]$ = tập hợp tất cả các hàm liên tục xác định trên khoảng đóng $[a,b]$
\item $P$ = tập hợp tất cả các đa thức
\item $P_n$ = tập hợp tất cả các đa thức bậc $\leq n$
\item $M_{m,n}$ = tập hợp tất cả các ma trận $m\times n$
\item $M_{n,n}$ = tập hợp tất cả các ma trận vuông $n\times n$
\end{itemize}
\subsection{Các tính chất của phép nhân vô hướng}
Gọi $\mathbf{v}$ là một thành phần bất kì của không gian vector $V$, và gọi $c$ là một vô hướng bất kì. Khi đó ta có các tính chất sau
\begin{itemize}
\item $0\mathbf{v}=\mathbf{0}$.
\item $c\mathbf{0} =\mathbf{0}$.
\item Nếu $c\mathbf{v} =\mathbf{0}$ thì $c=0$ hoặc $\mathbf{v}=\mathbf{0}$.
\item $(-1)\mathbf{v}=-\mathbf{v}$.
\end{itemize}
\section{Không gian con của không gian vector}
\subsection{Định nghĩa}
Tập con $W$ khác rỗng của một không gian vector $V$ được gọi là một \textbf{không gian con} của $V$ nếu $W$ là một không gian vector dưới các phép tính cộng và nhân vô hướng được xác định trong $V$.
Để thiết lập một tập $W$ là một không gian vector, ta phải xác nhận tất cả 10 tính chất của không gian vector. Tuy nhiên, nếu $W$ là một tập con của một không gian vector $V$ lớn hơn (và các phép tính được xác định trên $W$ là như nhau được xác định trên $V$), khi đó hầu hết 10 tính chất đều được \textit{thừa hưởng} từ không gian lớn hơn và không cần phải xác nhận.
\subsection{Kiểm tra một không gian con}
Nếu $W$ là một tập con khác rỗng của một không gian vector $V$ thì khi đó $W$ là một không gian con của $V$ khi và chỉ khi các điều kiện đóng sau đây thỏa mãn.
\begin{itemize}
\item Nếu $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ thuộc $W$ khi đó $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ cũng thuộc $W$.
\item Nếu $\mathbf{u}$ thuộc $W$ và $c$ là vô hướng bất kì, khi đó $c\mathbf{u}$ cũng thuộc $W$.
\end{itemize}
\textbf{Chú ý:} Nếu $W$ là một không gian con của $V$ thì cả $W$ và $V$ phải có cùng vector $\mathbf{0}$.
Không gian con đơn giản nhất của một không gian vector là không gian chỉ chứa vector không
\begin{equation}
W=\{\mathbf{0} \}.
\end{equation}
Không gian con này được gọi là \textbf{không gian con không}. Không gian con hiển nhiên khác của $V$ là chính nó $V$. Mọi không gian chứa hai không gian con tầm thường (hiển nhiên), và các không gian con khác hai không gian con này được gọi là không gian con \textbf{không tầm thường}.
\subsection{Giao của hai không gian con là một không gian con}
Nếu $V$ là $W$ là các không gian con của không gian vector $U$, khi đó giao của $V$ và $W$ (kí hiệu là $V \cap W$) cũng là không gian con của $U$.
\subsection{Không gian con của $\mathbb{R}^n$}
Không gian con của $\mathbb{R}^2$ là không gian đi qua gốc tọa độ. Đây là tính chất của các không gian con $\mathbb{R}^2$. Đó là, tập $W$ là tập con của $\mathbb{R}^2$ khi và chỉ khi nó có một trong các dạng liệt kê dưới đây.
\begin{itemize}
\item $W$ chứa \textit{điểm đơn} $(0,0)$.
\item $W$ chứa tất cả các điểm trên \textit{đường thẳng} đi qua gốc tọa độ.
\item $W$ chứa tất cả $\mathbb{R}^2$.
\end{itemize}
Một cách tổng quát, ta có thể chỉ ra rằng tập $W$ của $\mathbb{R}^3$ là một không gian con của $\mathbb{R}^3$ (với các phép tính chuẩn) khi và chỉ khi nó có một trong các dạng liệt kê dưới đây.
\begin{itemize}
\item $W$ chứa \textit{điểm đơn} $(0,0,0)$.
\item $W$ chứa tất cả các điểm trên \textit{đường thẳng} đi qua gốc tọa độ.
\item $W$ chứa tất cả các điểm trong \textit{mặt phẳng} đi qua gốc tọa độ.
\item $W$ chứa tất cả $\mathbb{R}^3$.
\end{itemize}
\section{Tập sinh và độc lập tuyến tính}
\subsection{Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của các vector}
Một vector $\mathbf{v}$ trong không gian vector $V$ được gọi là một \textbf{tổ hợp tuyến tính} của các vector $\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_k$ trong $V$ nếu $\mathbf{v}$ có thể được viết dưới dạng
\begin{equation}
\mathbf{v}=c_1 \mathbf{u}_1 + c_2 \mathbf{u}_2 + \cdots + c_k \mathbf{u}_k ,
\end{equation}
trong đó $c_1,c_2,\cdots,c_k$ là các vô hướng.\\\\
\textbf{Ví dụ:}
(a) Cho tập các vector trong $\mathbb{R}^3$,
\begin{align*}
S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}=\{(1,3,1),(0,1,2),(1,0,-5)\}
\end{align*}
$\mathbf{v}_1$ là tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_2$ và $\mathbf{v}_3$ bởi vì
\begin{align*}
\mathbf{v}_1=3\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3 &= 3(0,1,2)+(1,0,-5) \\
&=(1,3,1).
\end{align*}
(b) Cho tập các vector trong $M_{2,2}$
\begin{align*}
S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}= \left\{ \left[\begin{matrix}
0&8\\
2&1
\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}
0&2\\
1&0
\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}
-1&3\\
1&2
\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}
-2&0\\
1&3
\end{matrix}\right] \right\}
\end{align*}
$\mathbf{v}_1$ là tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_2$, $\mathbf{v}_3$ và $\mathbf{v}_4$ bởi vì
\begin{align*}
\mathbf{v}_1=\mathbf{v}_2+2\mathbf{v}_3 -\mathbf{v}_4 &= \left[\begin{matrix}
0&2\\
1&0
\end{matrix}\right]+2\left[\begin{matrix}
-1&3\\
1&2
\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}
-2&0\\
1&3
\end{matrix}\right] \\
&=\left[\begin{matrix}
0&8\\
2&1
\end{matrix}\right].
\end{align*}
\\
\textbf{Ví dụ:} Hãy viết vector $\mathbf{w}=(1,1,1)$ như một tổ hợp tuyến tính của các vector trong tập $S$
\begin{align*}
S=\{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} = \{(1,2,3),(0,1,2),(-1,0,1)\}
\end{align*}
Ta cần tìm các vô hướng $c_1$, $c_2$ và $c_3$ sao cho
\begin{align*}
(1,1,1)&=c_1(1,2,3)+c_2(0,1,2)+c_3(-1,0,1)\\
&=(c_1-c_3,2c_1+c_2,3c_1+2c_2+c_3)
\end{align*}
Đồng nhất các thành phần tương ứng, ta có hệ phương trình tuyến tính
\begin{align*}
c_1-c_3&=1\\
2c_1+c_2&=1\\
3c_1+2c_2+c_3&=1
\end{align*}
Sử dụng phép khử Gauss-Jordan, ta có thể thấy hệ này có vô số nghiệm, mỗi nghiệm có dạng
\begin{align*}
c_1&=1+t\\
c_2&=-1-2t\\
c_3&=t
\end{align*}
Để thu một nghiệm, ta có thể chọn $t=1$. Khi đó $c_3=1$, $c_2=-3$ và $c_1=2$. Ta có
\begin{align*}
\mathbf{w}=2\mathbf{v}_1-3\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3
\end{align*}
Các cách chọn khác cho $t$ cũng sẽ ra các cách khác để viết $\mathbf{w}$ như một tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$ và $\mathbf{v}_3$.
\subsection{Tập sinh}
\subsubsection{Định nghĩa tập sinh của một không gian vector}
Gọi $S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_k\}$ là tập con của không gian vector $V$. Tập $S$ được gọi là \textbf{tập sinh} của $V$ nếu \textit{mỗi} vector trong $V$ có thể được viết như một tổ hợp tuyến tính của các vector trong $S$. Trong trường hợp như vậy, ta nói $S$ \textbf{sinh} $V$.\\\\
\textbf{Ví dụ:}
(a) Cho tập $S=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ sinh $\mathbf{R}^3$ bởi vì với bất kì vector $\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)$ trong $\mathbb{R}^3$ có thể được viết là
\begin{align*}
\mathbf{u}=u_1(1,0,0)+u_2(0,1,0)+u_3(0,0,1) = (u_1,u_2,u_3)
\end{align*}
(b) Cho tập $S=\{(1,x,x^2 \}$ sinh $P_2$ bởi vì với bất kì đa thức $p(x)=a+bx+cx^2$ trong $P_2$ có thể được viết là
\begin{align*}
p(x)=a(1)+b(x)+c(x^2) = a+bx+cx^2
\end{align*}
\\
\textbf{Ví dụ:} Chứng tỏ rằng tập $S=\{(1,2,3),(0,1,2),(-2,0,1)\}$ sinh $\mathbb{R}^3$.\\
\textbf{Giải:}\\
Gọi $\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)$ là vector bất kì trong $\mathbb{R}^3$. Ta cần tìm các vô hướng $c_1$, $c_2$ và $c_3$ sao cho
\begin{align*}
(u_1,u_2,u_3) &= c_1(1,2,3)+c_2(0,1,2)+c_3(-2,0,1)\\
&=(c_1-2c_3,2c_1+c_2,3c_1+2c_2+c_3)
\end{align*}
Phương trình vector này tạo ra hệ
\begin{align*}
c_1-2c_3 &=u_1\\
2c_1+c_2 &=u_2\\
3c_1+2c_2+c_3 &=u_3
\end{align*}
Ma trận hệ số cho hệ này có định thức khác không, do đó hệ có nghiệm duy nhất. Vì vậy, với bất kì vector trong $\mathbb{R}^3$ có thể được viết như một tổ hợp tuyến tính các vector trong $S$, và ta có thể kết luận rằng tập $S$ sinh $\mathbb{R}^3$.
\subsubsection{Định nghĩa hệ sinh của một tập}
Nếu $S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_k\}$ là tập các vector của không gian vector $V$, khi đó \textbf{hệ sinh} của $S$ là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector trong $S$,
\begin{equation}
{\rm span}(S) = \{c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_k \mathbf{v}_k : c_1,c_2,\cdots,c_k \text{ là các số thực } \}.
\end{equation}
Hệ sinh của $S$ được kí hiệu là ${\rm span}(S)$ hoặc ${\rm span}\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 , \cdots ,\mathbf{v}_k \}$. Nếu ${\rm span}(S) = V$, ta nói rằng $V$ \textbf{được sinh} bởi $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 , \cdots ,\mathbf{v}_k\}$, hoặc $S$ \textbf{sinh} $V$.
\subsubsection{${\rm span}(S)$ là một không gian con của $V$}
Nếu $S=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 , \cdots ,\mathbf{v}_k \}$ là một tập các vector trong không gian $V$, khi đó ${\rm span}(S)$ là một không gian con của $V$. Hơn nữa, ${\rm span}(S)$ là không gian con nhỏ nhất của $V$ chứa $S$, mọi không gian khác của $V$ chứa $S$ phải chứa ${\rm span}(S)$.
\subsection{Phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính}
\subsubsection{Định nghĩa phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính}
Một tập các vector $S=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 , \cdots ,\mathbf{v}_k \}$ trong không gian vector $V$ được gọi là \textbf{độc lập tuyến tính} nếu phương trình vector
\begin{equation}
c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}
\end{equation}
chỉ có nghiệm tầm thường, tức $c_1=0,c_2=0,\cdots,c_k=0$. Nếu cũng có các nghiệm không tầm thường thì $S$ được gọi là \textbf{phụ thuộc tuyến tính}.\\\\
\textbf{Ví dụ:}
(a) Tập $S=\{(1,2),(2,4)\}$ trong $\mathbb{R}^2$ là phụ thuộc tuyến tính bởi vì
\begin{align*}
-2(1,2)+(2,4) = (0,0)
\end{align*}
(b) Tập $S=\{(1,0),(0,1),(-2,5)\}$ trong $\mathbb{R}^2$ là phụ thuộc tuyến tính bởi vì
\begin{align*}
2(1,0)-5(0,1)+(-2,5) = (0,0)
\end{align*}
(c) Tập $S=\{(0,0),(1,2)\}$ trong $\mathbb{R}^2$ là phụ thuộc tuyến tính bởi vì
\begin{align*}
1(0,0)+0(1,2) = (0,0)
\end{align*}
\\
\textbf{Ví dụ:} Hãy xác định rằng liệu tập các vector trong $\mathbb{R}^3$ là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
\begin{align*}
S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} = \{(1,2,3),(0,1,2),(-2,0,1)\}
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Để kiểm tra tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính, hãy viết dạng phương trình vector
\begin{align*}
c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3 = \mathbf{0}
\end{align*}
Nếu phương trình chỉ có nghiệm duy nhất là\begin{align*}
c_1=c_2=c_3=0
\end{align*}
thì tập $S$ là độc lập tuyến tính. Ngược lại, $S$ là phụ thuộc tuyến tính. Khai triển phương trình này, ta có
\begin{align*}
c_1(1,2,3)+c_2(0,1,2)+c_3(-2,0,1) &=(0,0,0)\\
(c_1-2c_3,2c_1+c_2,3c_1+2c_2+c_3)&=(0,0,0)
\end{align*}
ta có hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theo $c_1$, $c_2$ và $c_3$ dưới đây
\begin{align*}
c_1-2c_3 &=0\\
2c_1+c_2 &=0\\
3c_1+2c_2+c_3 &=0
\end{align*}
Ma trận mở rộng của hệ này rút gọn bằng phép khử Gauss-Jordan như sau
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
1&0&-2&0\\
2&1&0&0\\
3&2&1&0
\end{matrix} \right] \to \left[\begin{matrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Điều này dẫn đến nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường
\begin{align*}
c_1=c_2=c_3=0
\end{align*}
Do đó, $S$ là độc lập tuyến tính.
\subsubsection{Kiểm tra độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính}
Gọi $S=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 , \cdots ,\mathbf{v}_k \}$ là tập các vector trong không gian vector $V$. Để xác định rằng $S$ độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính, ta thực hiện các bước sau.
\begin{enumerate}
\item Từ phương trình vector $c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$, viết một hệ phương trình thuần nhất theo các biến $c_1$, $c_2$, $\cdots$, và $c_k$.
\item Sử dụng phép khử Gauss để xác định rằng hệ có một nghiệm duy nhất không.
\item Nếu hệ chỉ có nghiệm tầm thường, $c_1=0,c_2=0,\cdots,c_k=0$, thì tập $S$ là độc lập tuyến tính. Nếu hệ cũng có các nghiệm không tầm thường thì $S$ là phụ thuộc tuyến tính.
\end{enumerate}
\textbf{Ví dụ:} Hãy xác định liệu rằng tập các vector trong $P_2$ là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
\begin{align*}
S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} = \{1+x-2x^2,2+5x-x^2,x+x^2\}
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Khai triển phương trình $c_1 \mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3 =\mathbf{0}$ tạo ra
\begin{align*}
c_1(1+x-2x^2)+c_2(2+5x-x^2)+c_3(x+x^2) &=0+0x+0x^2 \\
(c_1+2c_2)+(c_1+5c_2+c_3)x+(-2c_1-c_2+c_3)x^2 &=0+0x+0x^2
\end{align*}
Đồng nhất các hệ số tương ứng của lũy thừa $x$ tạo ra hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theo $c_1$, $c_2$ và $c_3$ dưới đây
\begin{align*}
c_1+2c_2 &=0\\
c_1+5c_2+c_3 &=0\\
-2c_1-c_2+c_3 &=0
\end{align*}
Ma trận mở rộng của hệ này rút gọn bằng phép khử Gauss như sau
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
1&2&0&0\\
1&5&1&0\\
-2&-1&1&0
\end{matrix} \right] \to \left[\begin{matrix}
1&2&0&0\\
0&1&\frac{1}{3}&0\\
0&0&0&0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Điều này dẫn đến hệ có vô số nghiệm. Do đó, hệ phải có nghiệm không tầm thường, và ta có thể kết luận rằng tập $S$ là phụ thuộc tuyến tính.\\
Một nghiệm không tầm thường là
\begin{align*}
c_1&=2\\
c_2&=-1\\
c_3&=3
\end{align*}
ta có tổ hợp tuyến tính không tầm thường
\begin{align*}
(2)(1+x-2x^2)+(-1)(2+5x-x^2)+(3)(x+x^2) = 0
\end{align*}
\textbf{Ví dụ:} Hãy xác định liệu rằng tập các vector trong $M_{2,2}$ là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
\begin{align*}
S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} = \left\{ \left[\begin{matrix}
2&1\\
0&1
\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}
3&0\\
2&1
\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}
1&0\\
2&0
\end{matrix}\right] \right\}
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Từ phương trình
\begin{align*}
c_1 \mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3 =\mathbf{0}
\end{align*}
ta có
\begin{align*}
c_1\left[\begin{matrix}
2&1\\
0&1
\end{matrix}\right]+c_2\left[\begin{matrix}
3&0\\
2&1
\end{matrix}\right]+c_3\left[\begin{matrix}
1&0\\
2&0
\end{matrix}\right] &=\left[\begin{matrix}
0&0\\
0&0
\end{matrix}\right]
\end{align*}
tạo ra hệ phương trình tuyến tính theo $c_1$, $c_2$ và $c_3$ dưới đây
\begin{align*}
2c_1+3c_2+c_3 &=0\\
c_1&=0\\
2c_2+2c_3 &=0\\
c_1+c_2&=0
\end{align*}
Sử dụng phép khử Gauss, ma trận mở rộng của hệ này tạo ra
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
2&3&1&0\\
1&0&0&0\\
0&2&2&0\\
1&1&0&0
\end{matrix} \right] \to \left[\begin{matrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Hệ chỉ có nghiệm tầm thường và ta có thể kết luận rằng tập $S$ là độc lập tuyến tính
\subsubsection{Tính chất của tập phụ thuộc tuyến tính}
Tập $S=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 , \cdots ,\mathbf{v}_k \}$ với $k\geq 2$ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một trong các vector $\mathbf{v}_j$ có thể được viết như một tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại trong $S$.
\subsubsection{Hệ quả}
Hai vector $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ trong không gian vector $V$ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi một vector là bội số vô hướng của vector kia.\\\\
\textbf{Chú ý:} Vector không luôn luôn là bội số của vector khác trong không gian vector.
\section{Hệ cơ sở và số chiều}
\subsection{Hệ cơ sở}
\subsubsection{Định nghĩa hệ cơ sở}
Một tập các vector $S=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 , \cdots ,\mathbf{v}_k \}$ trong không gian vector $V$ được gọi là một \textbf{hệ cơ sở} của $V$ nếu nó thỏa các điều kiện sau
\begin{itemize}
\item $S$ sinh $V$.
\item $S$ độc lập tuyến tính.
\end{itemize}
\textbf{Ví dụ:} Chứng minh rằng tập sau là một cơ sở cho $\mathbb{R}^3$
\begin{align*}
S = \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Cho tập $S=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ sinh $\mathbf{R}^3$ bởi vì với bất kì vector $\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)$ trong $\mathbb{R}^3$ có thể được viết là
\begin{align*}
\mathbf{u}=u_1(1,0,0)+u_2(0,1,0)+u_3(0,0,1) = (u_1,u_2,u_3)
\end{align*}
Hơn nữa, $S$ độc lập tuyến tính bởi vì phương trình vector
\begin{align*}
c_1(1,0,0)+c_2(0,1,0)+c_3(0,0,1)=(0,0,0)
\end{align*}
chỉ có nghiệm tầm thường $c_1=c_2=c_3=0$. Do đó, $S$ là một cơ sở cho $\mathbb{R}^3$.\\
Cơ sở $S=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ được gọi là \textbf{cơ sở chuẩn} cho $\mathbb{R}^3$. Kết quả này có thể được tổng quát cho không gian $n$ chiều. Đó là, các vector
\begin{align*}
\mathbf{e}_1 &= (1,0,\cdots,0)\\
\mathbf{e}_2 &= (0,1,\cdots,0)\\
&\cdot\\
&\cdot\\
&\cdot\\
\mathbf{e}_n &= (0,1,\cdots,1)
\end{align*}
cấu thành một cơ sở cho $\mathbb{R}^n$ được gọi là \textbf{cơ sở chuẩn} cho $\mathbb{R}^n$.\\
\textbf{Ví dụ:} Chứng minh rằng tập
\begin{align*}
S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}=\{(1,1),(1,-1)\}
\end{align*}
là cơ sở cho $\mathbb{R}^2$.\\
\textbf{Giải:}\\
Theo định nghĩa của một cơ sở cho một không gian vector, ta phải chỉ ra rằng $S$ sinh $\mathbb{R}^2$ và $S$ độc lập tuyến tính.\\
Để xác nhận $S$ sinh $\mathbb{R}^2$, đặt
\begin{align*}
\mathbf{x}=(x_1,x_2)
\end{align*}
biểu diễn một vector bất kì trong $\mathbb{R}^2$. Để chứng minh rằng $\mathbf{x}$ có thể được viết như tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$, xét phương trình
\begin{align*}
c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2 &=\mathbf{x}\\
c_1(1,1)+c_2(1,-1)&=(x_1,x_2)\\
(c_1+c_2,c_1-c_2)&=(x_1,x_2)
\end{align*}
Đồng nhất các thành phần tương ứng ta có hệ phương trình tuyến tính dưới đây
\begin{align*}
c_1+c_2 &=x_1\\
c_1-c_2 &=x_2
\end{align*}
Do ma trận hệ số của hệ này có định thứ khác không, ta biết rằng hệ có một nghiệm duy nhất. Ta có thể kết luận rằng $S$ sinh $\mathbb{R}^2$.\\
Để chứng tỏ rằng $S$ là độc lập tuyến tính, xét tổ hợp tuyến tính
\begin{align*}
c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2 &=\mathbf{0}\\
c_1(1,1)+c_2(1,-1)&=(0,0)\\
(c_1+c_2,c_1-c_2)&=(0,0)
\end{align*}
Đồng nhất các thành phần tương ứng ta có hệ thuần nhất
\begin{align*}
c_1+c_2 &=0\\
c_1-c_2 &=0
\end{align*}
Do ma trận hệ số của hệ này có định thức khác không, ta biết rằng hệ chỉ có nghiệm tầm thường
\begin{align*}
c_1=c_2=0
\end{align*}
Do vậy, ta có thể kết luận rằng $S$ độc lập tuyến tính.\\
Ta có thể kết luận rằng $S$ là một cơ sở cho $\mathbb{R}^2$ do nó độc lập tuyến tính sinh tập cho $\mathbb{R}^2$.
\subsubsection{Tính duy nhất của biểu diễn}
Nếu $S=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 , \cdots ,\mathbf{v}_k \}$ là một cơ sở cho không gian vector $V$, khi đó mỗi vector trong $V$ có thể được viết theo một và chỉ một tổ hợp tuyến tính các vector trong $S$.
\subsubsection{Hệ cơ sở và phụ thuộc tuyến tính}
Nếu $S=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 , \cdots ,\mathbf{v}_k \}$ là một cơ sở cho không gian vector $V$, khi đó mỗi tập chứa hơn $n$ vector trong $V$ là phụ thuộc tuyến tính.
\subsubsection{Số vector trong một cơ sở}
Nếu không gian vector $V$ có một hệ cơ sở với $n$ vector, khi đó mỗi hệ cơ sở cho $V$ có $n$ vector.
\subsection{Số chiều của không gian vector}\subsubsection{Định nghĩa số chiều của không gian vector}
Nếu một không vector $V$ có một hệ cơ sở chứa $n$ vector, khi đó số $n$ được gọi là \textbf{số chiều} của $V$, kí hiệu là $\dim (V)=n$. Nếu $V$ chứa các vector không đơn lẻ thì số chiều của $V$ là không.
\subsubsection{Kiểm tra cơ bản trong không gian $n$ chiều}
Gọi $V$ là một không gian vector $n$ chiều.
\begin{itemize}
\item Nếu $S=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 , \cdots ,\mathbf{v}_k \}$ là một tập các vector độc lập tuyến tính trong $V$, khi đó $S$ là hệ cơ sở cho $V$.
\item Nếu $S=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 , \cdots ,\mathbf{v}_k \}$ sinh $V$, khi đó $S$ là hệ cơ sở cho $V$.
\end{itemize}
\section{Hạng của ma trận và hệ phương trình tuyến tính}
\subsection{Hạng ma trận}
\subsubsection{Định nghĩa không gian hàng và không gian cột của ma trận}
Gọi $A$ là ma trận $m\times n$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Không gian hàng} của $A$ là không gian con của $\mathbb{R}^n$ được sinh bởi các vector hàng của $A$.
\item \textbf{Không gian cột} của $A$ là không gian con của $\mathbb{R}^m$ được sinh bởi các vector cột của $A$.
\end{itemize}
\subsubsection{Các ma trận tương đương hàng có cùng không gian hàng}
Nếu một ma trận $A$ cấp $m\times n$ tương đương hàng với ma trận $B$ cấp $m\times n$, khi đó không gian hàng của $A$ bằng không gian hàng của $B$.
\subsubsection{Hệ cơ sở cho không gian hàng của ma trận}
Nếu ma trận $A$ tương đương hàng với ma trận $B$ dạng bậc thang, khi đó các vector khác không của $B$ cấu thành hệ cơ sở cho không gian hàng của $A$.\\
\textbf{Ví dụ:} Tìm một cơ sở cho không gian hàng của
\begin{align*}
A=\left[ \begin{matrix}
1&3&1&3\\
0&1&1&0\\
-3&0&6&-1\\
3&4&-2&1\\
2&0&-4&-2
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Sử dụng các phép tính hàng sơ cấp, $A$ được viết lại theo dạng bậc thang như sau
\begin{align*}
B=\left[ \begin{matrix}
1&3&1&3\\
0&1&1&0\\
0&0&0&1\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Ta có thể kết luận rằng các vector hàng khác không của $B$
\begin{align*}
\mathbf{w}_1 &= (1,3,1,3)\\
\mathbf{w}_2 &= (0,1,1,0)\\
\mathbf{w}_3 &= (0,0,0,1)
\end{align*}
cấu thành một cơ sở cho không gian hàng của $A$.
\subsubsection{Không gian hàng và cột có số chiều bằng nhau}
Nếu $A$ là ma trận $M\times n$, khi đó không gian hàng và không gian cột của $A$ có số chiều giống nhau.
\subsubsection{Định nghĩa hạng của ma trận}
Số chiều của không gian hàng (hoặc cột) của ma trận $A$ được gọi là \textbf{hạng} của $A$ và được kí hiệu là ${\rm rank}(A)$.\\
\textbf{Ví dụ:} Tìm hạng của ma trận
\begin{align*}
A=\left[ \begin{matrix}
1&-2&0&1\\
2&1&5&-3\\
0&1&3&5
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Chuyển về dạng bậc thang như sau
\begin{align*}
A=\left[ \begin{matrix}
1&-2&0&1\\
2&1&5&-3\\
0&1&3&5
\end{matrix} \right] \to B=\left[ \begin{matrix}
1&-2&0&1\\
0&1&1&-1\\
0&0&1&3
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Do $B$ có ba hàng khác không nên hạng của $A$ là 3.
\subsection{Không gian hạch của ma trận}
\subsubsection{Nghiệm của hệ thuần nhất}
Nếu $A$ là ma trận $m\times n$, khi đó tập các nghiệm của hệ phương trình tuyến tuyến thuần nhất
\begin{equation}
A\mathbf{x}=\mathbf{0}
\end{equation}
là một không gian con của $\mathbb{R}^n$ gọi là \textbf{không gian hạch} của $A$ và kí hiệu là $N(A)$. Do đó
\begin{equation}
N(A) = \{\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}.
\end{equation}
Số chiều không gian hạch của $A$ được gọi là \textbf{hạch} của $A$.
\subsubsection{Số chiều của không gian nghiệm}
Nếu $A$ là ma trận $m\times n$ hạng $r$, khi đó số chiều không gian nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ là $n-r$. Đó là
\begin{equation}
n={\rm rank}(A) + {\rm nullity}(A).
\end{equation}
\textbf{Ví dụ:} Cho các vector cột của ma trận $A$ được kí hiệu là $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$, $\mathbf{a}_3$, $\mathbf{a}_4$ và $\mathbf{a}_5$.
\begin{align*}
A=\left[ \begin{matrix}
1&0&-2&1&0\\
0&-1&-3&1&3\\
-2&-1&1&-1&3\\
0&3&9&0&-12
\end{matrix} \right]
\end{align*}
(a) Tìm hạng và hạch của $A$.
(b) Tìm tập con các vector cột của $A$ cấu thành một hệ cơ sở cho không gian cột của $A$.
(c) Nếu có thể, hãy viết cột thứ ba của $A$ như một tổ hợp tuyến tính hai cột đầu tiên.\\
\textbf{Giải:}\\
Gọi $B$ là dạng bậc thang rút gọn của $A$
\begin{align*}
A=\left[ \begin{matrix}
1&0&-2&1&0\\
0&-1&-3&1&3\\
-2&-1&1&-1&3\\
0&3&9&0&-12
\end{matrix} \right] \to B=\left[ \begin{matrix}
1&0&-2&1&0\\
0&1&3&0&-4\\
0&0&0&1&-1\\
0&0&0&0&0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
(a) Do $B$ có ba hàng khác không nên hạng của $A$ là 3. Số cột của $A$ là $n=5$, do đó hạch của $A$ là $n - {\rm rank} = 5-3=2$.
(b) Do các vector cột 1, 2 và 4 của $B$ là độc lập tuyến tính nên các vector cột tương ứng của $A$
\begin{align*}
\mathbf{a}_1 &= \left[ \begin{matrix}
1\\
0\\
-2\\
0
\end{matrix} \right] \\
\mathbf{a}_2 &= \left[ \begin{matrix}
0\\
-1\\
-1\\
3
\end{matrix} \right] \\
\mathbf{a}_4 &= \left[ \begin{matrix}
1\\
1\\
-1\\
0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
cấu thành hệ cơ sở cho không gian cột của $A$.
(c) Cột thứ ba của $B$ là tổ hợp tuyến tính của hai cột đầu: $\mathbf{b}_3 = -2\mathbf{b}_1+3\mathbf{b}_2$. Mối quan hệ giống vậy tương ứng cho các cột của ma trận $A$
\begin{align*}
\mathbf{a}_3 = \left[ \begin{matrix}
-2\\
-3\\
1\\
9
\end{matrix} \right] = -2 \left[ \begin{matrix}
1\\
0\\
-2\\
0
\end{matrix} \right] + 3\left[ \begin{matrix}
0\\
-1\\
-1\\
3
\end{matrix} \right] = -2\mathbf{a}_1+3\mathbf{a}_2
\end{align*}
\subsection{Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính}
\subsubsection{Nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất}
Nếu $\mathbf{x}_p$ là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, khi đó mỗi nghiệm của hệ này có thể được viết dưới dạng $\mathbf{x}=\mathbf{x}_p + \mathbf{x}_h$, trong đó $\mathbf{x}_h$ là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$.\\
\textbf{Ví dụ:} Tìm tập các vector nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
\begin{align*}
x_1-2x_3+x_4 &= 5\\
3x_1+x_2-5x_3 &=8\\
x_1+2x_2-5x_4 &=-9
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Ma trận mở rộng cho hệ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ rút gọn như sau
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
1&0&-2&1&5\\
3&1&-5&0&8\\
1&2&0&-5&-9
\end{matrix} \right] \to \left[\begin{matrix}
1&0&-2&1&5\\
0&1&1&-3&-7\\
0&0&0&0&0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Hệ phương trình tuyến tính tương ứng với ma trận bậc thang là
\begin{align*}
x_1-2x_3+x_4 &= 5\\
x_2+x_3-3x_4 &=-7
\end{align*}
Đặt $x_3 =s$ và $x_4=t$, ta có thể viết vector nghiệm đặc trưng của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ như sau
\begin{align*}
\mathbf{x}= \left[\begin{matrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}
2s-t+5\\
-s+3t-7\\
s+0t+0\\
0s+t+0
\end{matrix} \right] &= s\left[\begin{matrix}
2\\
-1\\
1\\
0
\end{matrix} \right] + t\left[\begin{matrix}
-1\\
3\\
0\\
1
\end{matrix} \right]+\left[\begin{matrix}
5\\
-7\\
0\\
0
\end{matrix} \right] \\
&= s\mathbf{u}_1 + t\mathbf{u}_2 + \mathbf{x}_p
\end{align*}
Có thể thấy $\mathbf{x}_p$ là vector nghiệm \textit{riêng} của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, và $\mathbf{x}_h=s\mathbf{u}_1 + t\mathbf{u}_2$ biểu diễn vector bất kì trong không gian nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$.
\subsubsection{Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính}
Hệ phương trình tuyến tính $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ thống nhất khi và chỉ khi $\mathbf{b}$ là không gian cột của $A$.\\
\textbf{Ví dụ:} Xét hệ phương trình tuyến tính
\begin{align*}
x_1+x_2-x_3 &= -1\\
x_1+x_3 &=3\\
3x_1+2x_2-x_3 &=1
\end{align*}
Hạng của ma trận hệ số bằng với hạng của ma trận mở rộng
\begin{align*}
A=\left[\begin{matrix}
1&1&-1\\
1&0&1\\
3&2&-1
\end{matrix} \right] \to \left[\begin{matrix}
1&0&1\\
0&1&-2\\
0&0&0
\end{matrix} \right] \\
[A \mid \mathbf{b}] = \left[\begin{matrix}
1&1&-1&-1\\
1&0&1&3\\
3&2&-1&1
\end{matrix} \right] \to \left[\begin{matrix}
1&0&1&3\\
0&1&-2&-4\\
0&0&0&0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Có thể thấy ở trên, $\mathbf{b}$ trong không gian cột của $A$, và hệ phương trình tuyến tính là thống nhất.
\subsection{Hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số bình phương}
Nếu $A$ là ma trận $n\times n$, khi đó các điều kiện sau là tương đương.
\begin{itemize}
\item $A$ khả nghịch.
\item $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có một nghiệm duy nhất cho bất kì ma trận $\mathbf{b}$ cấp $n\times 1$.
\item $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ chỉ có nghiệm tầm thường.
\item $A$ tương đương hàng với $I_n$.
\item $|A| \neq 0$.
\item ${\rm Rank}(A) = n$.
\item $n$ vector hàng của $A$ độc lập tuyến tính.
\item $n$ vector cột của $A$ độc lập tuyến tính.
\end{itemize}
\section{Tọa độ và thay đổi hệ cơ sở}
\subsection{Biểu diễn tọa độ trong $\mathbb{R}^n$}
Gọi $B=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}$ là hệ cơ sở có sắp xếp cho một không gian vector $V$ và gọi $\mathbf{x}$ là vector trong $V$ sao cho
\begin{equation}
\mathbf{x}=c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n.
\end{equation}
Các vô hướng $c_1,c_2,\cdots,c_n$ được gọi là các \textbf{tọa độ của $\mathbf{x}$ đối với hệ cơ sở $B$}. \textbf{Ma trận tọa độ} (hoặc \textbf{vector tọa độ}) \textbf{của $\mathbf{x}$ đối với $B$} là ma trận cột trong $\mathbb{R}^n$ mà các thành phần của nó là các tọa độ của $\mathbf{x}$.
\begin{equation}
[\mathbf{x}]_{B} = \left[\begin{matrix}
c_1 \\
c_2 \\
\cdot \\
\cdot \\
\cdot \\
c_n
\end{matrix} \right]
\end{equation}
\textbf{Ví dụ:} Tìm ma trận tọa độ của $\mathbf{x}=(-2,1,3)$ trong $\mathbb{R}^3$ đối với hệ cơ sở chuẩn
\begin{align*}
S=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Do $\mathbf{x}$ có thể được viết
\begin{align*}
\mathbf{x}=(-2,1,3)=-2(1,0,0)+1(0,1,0)+3(0,0,1)
\end{align*}
ta có thể thấy rằng ma trận tọa độ của $\mathbf{x}$ đối với hệ cơ sở chuẩn là
\begin{align*}
[\mathbf{x}]_S = \left[ \begin{matrix}
-2\\
1\\
3
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Do đó, thành phần của $\mathbf{x}$ giống như các tọa độ của nó đối với với hệ cơ sở chuẩn.\\
\textbf{Ví dụ:} Tìm ma trận tọa độ của $\mathbf{x}=(1,2,-1)$ trong $\mathbb{R}^3$ đối với cơ sở (không chuẩn)
\begin{align*}
B'=\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\}=\{(1,0,1),(0,-1,2),(2,3,-5)\}
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Bắt đầu bằng việc viết $\mathbf{x}$ như một tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$ và $\mathbf{u}_3$.
\begin{align*}
\mathbf{x}&=c_1\mathbf{u}_1+c_2\mathbf{u}_2+c_3\mathbf{u}_3 \\
(1,2,-1)&=c_1(1,0,1)+c_2(0,-1,2)+c_3(2,3,-5)
\end{align*}
Đồng nhất các thành phần tương ứng tạo ra hệ phương trình tuyến tính sau
\begin{align*}
c_1+2c_3 &=1\\
-c_2+3c_3&=2\\
c_1+2c_2-5c_3&=-1\\
\left[ \begin{matrix}
1&0&2\\
0&-1&3\\
1&2&-5
\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix}
c_1\\
c_2\\
c_3
\end{matrix} \right] &= \left[ \begin{matrix}
1\\
2\\
-1
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Nghiệm của hệ này là $c_1=5$, $c_2=-8$ và $c_3=-2$. Do vậy
\begin{align*}
\mathbf{x}=5(1,0,1)+(-8)(0,-1,2)+(-2)(2,3,-5)
\end{align*}
và ma trận tọa độ của $\mathbf{x}$ đối với $B'$ là
\begin{align*}
[\mathbf{x}]_{B'} = \left[ \begin{matrix}
5\\
-8\\
-2
\end{matrix} \right].
\end{align*}
\subsection{Thay đổi cơ sở trong $\mathbb{R}^n$}
\subsubsection{Nghịch đảo của ma trận chuyển cơ sở}
Giả sử $B=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}$ và $B'=\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_n\}$ là hai cơ sở cho $\mathbb{R}^n$. Nếu $\mathbf{x}$ là một vector trong $\mathbb{R}^n$ và
\begin{align*}
[\mathbf{x}]_{B} = \left[ \begin{matrix}
c_1\\
c_2\\
\cdot\\
\cdot\\
\cdot\\
c_n
\end{matrix} \right] \text{ và } [\mathbf{x}]_{B'} = \left[ \begin{matrix}
d_1\\
d_2\\
\cdot\\
\cdot\\
\cdot\\
d_n
\end{matrix} \right]
\end{align*}
là các ma trận tọa độ của $\mathbf{x}$ đối với $B$ và $B'$, khi đó \textbf{ma trận chuyển cơ sở từ $B'$ sang $B$} là ma trận $P$ sao cho
\begin{equation}
[\mathbf{x}]_{B} = P [\mathbf{x}]_{B'}
\end{equation}
Nếu $P$ là ma trận chuyển từ cơ sở $B'$ sang cơ sở $B$ trong $\mathbb{R}^n$, khi đó $P$ khả nghịch và ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$ được cho bởi $P^{-1}$.
\\\\
\textbf{Bật mí: } Gọi $B=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}$ và $B'=\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_n\}$ là hai cơ sở cho không gian vector $V$. Nếu
\begin{align*}
\mathbf{v}_1 &= c_{11} \mathbf{u}_1 + c_{21} \mathbf{u}_2 + \cdots + c_{n1} \mathbf{u}_n \\
\mathbf{v}_2 &= c_{12} \mathbf{u}_1 + c_{22} \mathbf{u}_2 + \cdots + c_{n2} \mathbf{u}_n \\
&\cdot \\
&\cdot \\
&\cdot \\
\mathbf{v}_n &= c_{1n} \mathbf{u}_1 + c_{2n} \mathbf{u}_2 + \cdots + c_{nn} \mathbf{u}_n
\end{align*}
khi đó ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$ là
\begin{equation}
Q = \left[ \begin{matrix}
c_{11} & c_{12} &\cdots& c_{1n}\\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn}
\end{matrix} \right].
\end{equation}
\subsubsection{Ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$}
Gọi $B=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}$ và $B'=\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_n\}$ là hai cơ sở cho $\mathbb{R}^n$. Khi đó ma trận chuyển cơ sở $P^{-1}$ từ $B$ sang $B'$ có thể được xác định bằng phép khử Gauss-Jordan lên ma trận $[B'\mid B]$ cấp $n\times 2n$ như sau
\begin{equation}
[B' \mid B] \to [I_n {\mid} P^{-1}].
\end{equation}
\textbf{Ví dụ:} Tìm ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$ cho các cơ sở thuộc $\mathbb{R}^3$.
\begin{align*}
B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} \text{ và } B'=\{(1,0,1),(0,-1,2),(2,3,-5)\}
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Đầu tiên sử dụng các vector trong hai cơ sở để cấu thành ma trận $B$ và $B'$.
\begin{align*}
B=\left[ \begin{matrix}
1 & 0 &0\\
0 & 1 &0 \\
0&0&1
\end{matrix} \right] \text{ và } B'=\left[ \begin{matrix}
1 & 0 &2\\
0 &-1 &3 \\
1&2&-5
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Khi đó hình thành ma trận $\left[ \begin{matrix}
B'\mid B
\end{matrix} \right]$ và sử dụng phép khử Gauss-Jordan để viết lại $\left[ \begin{matrix}
B\mid B'
\end{matrix} \right]$ như $\left[ \begin{matrix}
I_3\mid P^{-1}
\end{matrix} \right]$
\begin{align*}
\left[ \begin{matrix}
1&0&2 &\mid & 1&0&0\\
0&-1&3 &\mid & 0&1&0\\
1&2&-5 &\mid & 0&0&1
\end{matrix} \right] \to \left[ \begin{matrix}
1&0&0 &\mid & -1&4&2\\
0&1&0 &\mid & 3&-7&-3\\
0&0&1 &\mid & 1&-2&-1
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Từ đây, ta có thể kết luận ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$ là
\begin{align*}
P^{-1} = \left[ \begin{matrix}
-1&4&2\\
3&-7&-3\\
1&-2&-1
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Thử nhân $P^{-1}$ với ma trận tọa độ của
\begin{align*}
\mathbf{x} = \left[ \begin{matrix}
1\\
2\\
-1
\end{matrix} \right]
\end{align*}
ta sẽ có kết quả giống với kết quả thu được ở ví dụ trên.
\section{Ứng dụng của không gian vector}
\subsection{Phương trình vi phân tuyến tính (Giải tích)}
\subsubsection{Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất}
Mỗi phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính cấp $n$
\begin{equation}
y^{(n)}+g_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \cdots + g_1(x) y' + g_0(x)y = 0
\end{equation}
có $n$ nghiệm độc lập tuyến tuyến tính. Hơn nữa, nếu $\{y_1,y_2,\cdots,y_n\}$ là tập nghiệm độc lập tuyến tính, khi đó mỗi nghiệm nằm trong \textbf{nghiệm tổng quát}
\begin{equation}
y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + \cdots + C_n y_n ,
\end{equation}
trong đó $C_1,C_2,\cdots,$ và $C_n$ là các số thực.
\subsubsection{Định nghĩa Wronskian của tập các hàm}
Gọi $\{y_1,y_2,\cdots,y_n\}$ là tập các hàm, mỗi hàm có $n-1$ đạo hàm trên khoảng $I$. Định thức
\begin{equation}
W(y_1,y_2,\cdots,y_n) = \left|\begin{matrix}
y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\
y'_1 & y'_2 & \cdots & y'_n \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
y^{(n-1)}_1 & y^{(n-1)}_2 & \cdots & y^{(n-1)}_n
\end{matrix} \right|
\end{equation}
được gọi là \textbf{Wronskian} (định thức Wronski) của tập các hàm cho trước.
\subsubsection{Kiểm tra Wronskian cho độc lập tuyến tính}
Gọi $\{y_1,y_2,\cdots,y_n\}$ là tập $n$ nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp $n$. Tập này độc lập tuyến tính khi và chỉ khi định thức Wronski không bằng không.
\subsection{Tiết diện nón và phép quay}
\subsubsection{Dạng chuẩn tắc của phương trình đường conics}
Gọi $r$ là bán kính. Phương trình đường tròn: $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$. \\
Các dạng chuẩn của phương trình conics
\begin{itemize}
\item $\dfrac{(x-h)^2}{\alpha^2}+\dfrac{(y-k)^2}{\beta^2} = 1$.
\item $\dfrac{(x-h)^2}{\beta^2}+\dfrac{(y-k)^2}{\alpha^2} = 1$.\\
$2\alpha$ là độ dài trục chính và $2\beta$ là độ dài trục phụ.
\item $\dfrac{(x-h)^2}{\alpha^2}+\dfrac{(y-k)^2}{\beta^2} = 1$.
\item $\dfrac{(x-h)^2}{\beta^2}+\dfrac{(y-k)^2}{\alpha^2} = 1$.\\
$2\alpha$ là độ dài ngang và $2\beta$ là độ dài trục phụ.
\item $(x-h)^2 = 4p(y-k)$.
\item $(y-k)^2=4p(x-h)$.\\
$p$ là khoảng cách trực tiếp từ đỉnh đến tâm.
\end{itemize}
\subsubsection{Phép quay trục}
Phương trình bậc hai $ax^2+bxy+cy^2 +dx+ey+f = 0$ có thể viết dưới dạng
\begin{equation}
a'(x')^2+c'(y')^2+d'x'+e'y'+f' =0
\end{equation}
bằng phép quay các trục tọa độ ngược chiều kim đồng hồ thông qua góc $\theta$, trong đó $\theta$ được xác định bởi $\cot 2\theta = \dfrac{a-c}{b}$. Các hệ số của phương trình mới thu được từ việc thay
\begin{equation}
x= x'\cos\theta -y'\sin\theta \\
y =x'\sin\theta+y'\cos\theta
\end{equation}
Đăng ký:
Nhận xét (Atom)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét