1. Các phép tính ma trận
Ma trận được cấu tạo từ các phần tử ma trận và được biểu diễn theo 3 cách
- Ma trận có thể được kí hiệu bởi các chữ cái hoa như là $A, B, C,\cdots$ .
- Ma trận có thể được kí hiệu theo các phần tử đại diện được đóng trong ngoặc vuông như là $[a_{ij}],[b_{ij}],[c_{ij}],\cdots$.
- Ma trận có thể được kí hiệu là một dãy hình chữ nhật các con số $$\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{matrix} \right]$$
1.1. Định nghĩa hai ma trận bằng nhau
Hai ma trận $A = [a_{ij}]$ và $B = [b_{ij}]$ bằng nhau nếu chúng có cùng cấp $(m \times n)$ và $a_{ij} = b_{ij}$ với $1 \leq i \leq m$ và $1 \leq j \leq n$.Ví dụ: Xét 4 ma trận $A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right]$ , $B = \left[\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right]$ , $C = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \end{matrix} \right]$ và $D = \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ x & 4 \end{matrix} \right]$. Ma trận $A$ và $B$ không bằng nhau vì chúng khác cấp. Tương tự, $B$ và $C$ không bằng nhau. Ma trận $A$ và $D$ bằng nhau nếu $x=3$.
Ma trận chỉ chứa một cột được gọi là ma trận cột hay vector cột. Tương tự, ma trận chỉ chứa một hàng được gọi là ma trận hàng hay vector hàng. Các chữ cái in đậm thường được sử dụng để mô tả các ma trận (vector) hàng và cột.
1.2. Phép cộng ma trận
Nếu $A = [a_{ij}]$ và $B = [b_{ij}]$ là các ma trận cùng cấp $m \times n$, khi đó tổng của chúng là ma trận cấp $m \times n$ được cho bởi \begin{equation} A + B = [a_{ij} + b_{ij}] . \end{equation}Không xác định được tổng của hai ma trận khác cấp.Ví dụ: Xét 4 ma trận
a. $\left[\begin{matrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] + \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} -1+1 & 2+3 \\ 0-1 & 1+2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 5 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right]$ .
b. Không cộng được hai ma trận $\left[\begin{matrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] + \left[\begin{matrix} 1 & 3 & 0\\ -1 & 2 & 0 \end{matrix} \right]$
1.3. Nhân vô hướng
Nếu $A = [a_{ij}]$ là ma trận $m\times n$ và $c$ là vô hướng, khi đó nhân vô hướng ma trận $A$ với $c$ thu được một ma trận $m \times n$ được cho bởi \begin{equation} c A = [c a_{ij}] \end{equation}Hệ quả: Phép trừ hai ma trận được hiểu như sau \begin{equation*} A - B = A + (-1)B \end{equation*}
Ví dụ: Cho các ma trận: $A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ -3 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} \right]$ và $B= \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 3 \\ -1 & 3 & 2 \end{matrix} \right]$. Hãy tính
a. $3A$
b. $-B$
c. $3A-B$
Giải
a. $3A = 3\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ -3 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 3 & 6 & 12 \\ -9 & 0 & -3 \\ 6 & 3 & 6 \end{matrix} \right]$.
b. $-B= (-1)\left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 3 \\ -1 & 3 & 2 \end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} -2 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & -3 \\ 1 & -3 & -2 \end{matrix} \right]$.
c. $3A-B = \left[\begin{matrix} 3 & 6 & 12 \\ -9 & 0 & -3 \\ 6 & 3 & 6 \end{matrix} \right] - \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 3 \\ -1 & 3 & 2 \end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} 3 & 6 & 12 \\ -9 & 0 & -3 \\ 6 & 3 & 6 \end{matrix} \right] + \left[\begin{matrix} -2 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & -3 \\ 1 & -3 & -2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 1 & 6 & 12 \\ -10 & 4 & 6 \\ 7 & 0 & 4 \end{matrix} \right]$.
1.4. Nhân ma trận
Nếu $A = [a_{ij}]$ là ma trận $m\times n$ và $B = [b_{ij}]$ là ma trận $n\times p$ thì khi đó tích $AB$ là ma trận $m\times p$ \begin{equation} AB = [c_{ij}] \end{equation} trong đó \begin{equation} c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj} = a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + a_{i3} b_{3j} + \cdots + a_{in} b_{nj} \end{equation}Ví dụ: Tìm tích $AB$, trong đó $A=\left[\begin{matrix} -1 & 3 \\ 4 & -2 \\ 5 & 0 \end{matrix} \right]$ và $B=\left[\begin{matrix} -3 & 2 \\ -4 & 1 \end{matrix} \right]$.
Giải:
Ma trận $A$ cấp $3 \times 2$ và $B$ cấp $2 \times 2$ nên tích $AB$ là ma trận $3 \times 2$ có dạng \begin{align*} \left[\begin{matrix} -1 & 3 \\ 4 & -2 \\ 5 & 0 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} -3 & 2 \\ -4 & 1 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{matrix} \right] \end{align*}
Để tìm $c_{11}$ (phần tử hàng 1 cột 1 của ma trận tích), nhân hàng 1 của $A$ với cột 1 của $B$, tức là \begin{align*} c_{11} = (-1)(-3) +3(-4) = -9 \end{align*}
Tương tự cho các phần tử còn lại \begin{align*} c_{21} &= 4(-3)+(-2)(-4)=-4 \\ c_{22} &=4(2) + (-2)(1) = 6 \\ c_{31} &= 5(-3) + 0(-4) = -15 \\ c_{32} &= 5(2) +0(1) = 10 \end{align*}
Tích là \begin{align*} AB = \left[\begin{matrix} -1 & 3 \\ 4 & -2 \\ 5 & 0 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} -3 & 2 \\ -4 & 1 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} -9 & 1 \\ -4 & 6 \\ -15 & 10 \end{matrix} \right] \end{align*}
Chú ý: Về tổng quát, phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
Ví dụ:
Ta có:
+ $\left[\begin{matrix} -1 & -2 & -3 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right] = [1]$.
+ $\left[\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} -1 & -2 & -3 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 2 & -4 & -6 \\ -1 & 2 &3 \\ 1&-2 &-3 \end{matrix} \right]$.
Ta thấy rằng phép nhân 2 ma trận không giao hoán, tức $AB \neq BA$.
1.5. Hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình \begin{align*} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 = b_2 \\ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 = b_3 \end{align*} có thể được viết như một phương trình ma trận $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$, trong đó $A$ là ma trận hệ số của hệ, và $\mathbf{x}$ và $\mathbf{b}$ là các ma trận cột. Ta có thể viết hệ như sau \begin{align*} \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix} \right] \end{align*}Ví dụ: Giải phương trình ma trận $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$, trong đó \begin{align*} A = \left[\begin{matrix} 1&-2&1\\ 2&3&-2 \end{matrix} \right] , \mathbf{x} = \left[\begin{matrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right] \text{ và } \mathbf{0} = \left[\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix} \right] \end{align*}
Giải:
Như một hệ phương trình tuyến tính, $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ giống như \begin{align*} x_1-2x_2+x_3 &=0\\ 2x_1+3x_2-2x_3&=0 \end{align*} Sử dụng phép khử Gauss-Jordan lên ma trận mở rộng của hệ, ta thu được \begin{align*} \left[\begin{matrix} 1&0&-\frac{1}{7}0\\ 0&1&-\frac{4}{7}&0 \end{matrix} \right] \end{align*} Do vậy, hệ có vô số nghiệm. Ở đây, ta chọn một tham số là $x_3=7t$, ta có thể viết tập nghiệm là \begin{align*} x_1=t, x_2=4t, x_3=7t, t \text{ là số thực bất kì}. \end{align*} Trong kĩ thuật ma trận, ta thấy phương trình ma trận \begin{align*} \left[\begin{matrix} 1&-2&1\\ 2&3&-2 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix} \right] \end{align*} có vô số nghiệm đặc trưng bởi \begin{align*} \mathbf{x}=\left[\begin{matrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} t\\ 4t \\ 7t \end{matrix} \right] =t \left[\begin{matrix} 1\\ 4 \\ 7 \end{matrix} \right] , t \text{ là vô hướng bất kì}. \end{align*} Tức là, bất kì bội số vô hướng của ma trận cột bên phải là một nghiệm.
1.6. Ma trận khối
Hệ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có thể được biểu diễn theo cách thuận tiện hơn bằng phân khối các ma trận $A$ và $\mathbf{x}$ theo phương pháp sau. Nếu \begin{align*} A=\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdot & \cdot & & \cdot \\ \cdot & \cdot & & \cdot \\ \cdot & \cdot & & \cdot \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{matrix} \right] , \mathbf{x} = \left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ x_n \end{matrix} \right], \mathbf{b} = \left[\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ b_n \end{matrix} \right] \end{align*} lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột chưa biết, vế phải của hệ tuyến tính $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ cấp $m\times n$, khi đó ta có thể viết \begin{align*} A \mathbf{x} &= \mathbf{b} \\ \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdot & \cdot & & \cdot \\ \cdot & \cdot & & \cdot \\ \cdot & \cdot & & \cdot \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ x_n \end{matrix} \right] &=\mathbf{b} \\ \left[\begin{matrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n \end{matrix} \right] &=\mathbf{b} \\ x_1 \left[\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ a_{m1} \end{matrix} \right] + x_2 \left[\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ a_{m2} \end{matrix} \right] + \cdots + x_n \left[\begin{matrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ a_{mn} \end{matrix} \right] &= \mathbf{b} \end{align*} Hay nói cách khác \begin{align*} A\mathbf{x} = x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + \cdots + x_n \mathbf{a}_n = \mathbf{b} , \end{align*} trong đó $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots, \mathbf{a}_n$ là các cột của ma trận $A$. \\ Biểu thức $x_1 \left[\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ a_{m1} \end{matrix} \right] + x_2 \left[\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ a_{m2} \end{matrix} \right] + \cdots + x_n \left[\begin{matrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ a_{mn} \end{matrix} \right] $ được gọi là \textbf{tổ hợp tuyến tính} của các ma trận cột $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots, \mathbf{a}_n$ với các \textbf{hệ số} $x_1,x_2,\cdots,x_n$. Một cách tổng quát, tích ma trận $A\mathbf{x}$ là một tổ hợp tuyến tính của các vector cột $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots, \mathbf{a}_n$ hình thành nên ma trận hệ số $A$. Hơn nữa, hệ $A\mathbf{x} =\mathbf{b}$ thống nhất khi và chỉ khi $\mathbf{b}$ có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính, trong đó các hệ số của tổ hợp tuyến tính là nghiệm của hệ.2. Tính chất của các phép tính ma trận
2.1. Các tính chất của phép cộng và nhân vô hướng ma trận
Nếu $A$, $B$ và $C$ là các ma trận $m \times n$ và $c$ và $d$ là các giá trị vô hướng, khi đó ta có các tính chất sau- $A+B = B+A$ (tính giao hoán của phép cộng).
- $A+(B+C) = (A+B)+C$ (tính kết hợp của phép cộng).
- $(cd)A = c(dA)$ (tính kết hợp của phép nhân).
- $1 A = A$ (tính giống nhau của phép nhân).
- $c(A+B) = cA + cB$ (tính phân phối).
- $(c+d)A = cA + dA$ (tính phân phối).
2.2. Các tính chất của ma trận không
Ma trận không là ma trận chứa tất cả các phần tử 0.Nếu $A$ là ma trận $m\times n$ và $c$ là vô hướng, khi đó ta có các tính chất sau
- $A+ O_{mn} = A$
- $A+(-A) = O_{mn}$
- Nếu $cA= O_{mn}$ thì $c=0$ hoặc $A=O_{mn}$
2.3. Các tính chất của phép nhân ma trận
Nếu $A$, $B$ và $C$ là các ma trận (với các cấp sao cho tích ma trận được xác định) và $c$ là vô hướng, khi đó ta có các tính chất sau- $A(BC)=(AB)C$
- $A(B+C)=AB+AC$
- $(A+B)C = AC + BC$
- $c(AB)=(cA)B = A(cB)$
2.4. Các tính chất của ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận vuông trong đó các phần tử trên đường chéo là 1 và các phần tử còn lại là 0. Ma trận đơn vị cấp $n$ được định nghĩa \begin{equation} I_n = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdot & \cdot & \cdot & & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & & \cdot \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{matrix} \right] \end{equation} Nếu $A$ là ma trận $m\times n$, khi đó ta có các tính chất sau- $A I_n = A$
- $I_m A = A$
2.5. Số lượng nghiệm của một phương trình tuyến tính
Với hệ phương trình tuyến tính $n$ ẩn có thể xảy ra các điều sau- Hệ chỉ có chính xác một nghiệm.
- Hệ có số lượng nghiệm hữu hạn.
- Hệ vô nghiệm.
2.6. Phép chuyển vị của ma trận
2.6.1. Định nghĩa ma trận chuyển vị
Phép chuyển vị của một ma trận là biến đổi các hàng của nó thành các cột. Ví dụ, nếu $A$ là ma trận $m\times n$ \begin{equation*} A=\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{matrix} \right] \end{equation*} khi đó ma trận chuyển vị được kí hiệu $A^T$ là ma trận $n\times m$ dưới đây \begin{equation*} A^T=\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & \cdots & a_{m2} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & \cdots & a_{m3} \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} & \cdots & a_{mn} \end{matrix} \right] \end{equation*}Chú ý: Ma trận $A$ được gọi là ma trận đối xứng nếu $A=A^T$. Do đó, ma trận đối xứng phải là ma trận vuông. Đồng thời, nếu $A = [a_{ij}]$ là ma trận đối xứng thì $a_{ij}=a{ji}$ với mọi $i\neq j$.
2.6.2. Các tính chất của phép chuyển vị
Nếu $A$ và $B$ là các ma trận (với các cấp sao cho các phép tính ma trận là xác định) và $c$ là vô hướng, khi đó ta có các tính chất sau- $(A^T)^T = A$ (chuyển vị của chuyển vị)
- $(A+B)^T = A^T + B^T$ (chuyển vị của tổng)
- $(cA)^T = c(A^T)$ (chuyển vị của nhân vô hướng)
- $(AB)^T = B^T A^T$ (chuyển vị của tích)
Ví dụ: Cho ma trận $A=\left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & -2 \\ -2 & -1 \end{matrix} \right] $. Hãy tính tích $AA^T$ và chứng minh rằng nó đối xứng.
Giải: Bởi vì \begin{align*} AA^T = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & -2 \\ -2 & -1 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 10 & -6 & -5 \\ -6 & 4 & 2 \\ -5 & 2 & 5 \end{matrix} \right] \end{align*} Ta thấy rằng $AA^T = (AA^T)^T$, do đó $AA^T$ là ma trận đối xứng.
Chú ý: Với ma trận $A$ bất kì, ma trận $B = AA^T$ luôn là ma trận đối xứng.
3. Phép nghịch đảo ma trận
3.1. Định nghĩa về ma trận nghịch đảo
Ma trận $A$ cấp $n \times n$ là khả nghịch (hoặc không kì dị) nếu tồn tại một ma trận $B$ cấp $n\times n$ sao cho \begin{equation} AB = BA = I_n \end{equation} trong đó $I_n$ là ma trận đơn vị cấp $n$. Ma trận $B$ được gọi là nghịch đảo của ma trận $A$. Ma trận không có ma trận nghịch đảo gọi là ma trận không khả nghịch (hoặc kì dị).3.2. Tính duy nhất của ma trận nghịch đảo
Nếu $A$ là ma trận khả nghịch, khi đó ma trận nghịch đảo của nó là duy nhất. Nghịch đảo của $A$ kí hiệu là $A^{-1}$.Ví dụ: Ma trận $B=\left[\begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] $ là nghịch đảo của ma trận $A=\left[\begin{matrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] $ vì $AB = I = BA$. Thật vậy \begin{align*} AB = \left[\begin{matrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \\ BA =\left[\begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \end{align*}
3.3. Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng phép khử Gauss-Jordan
Gọi $A$ là ma trận vuông cấp $n$.- Viết ma trận $n\times 2n$ bao gồm ma trận $A$ ở bên trái và ma trận đơn vị $I$ ở bên phải để thu được $[A\mid I]$. Chú ý nên tách các ma trận $A$ và $I$ bằng một đường $\mid$. Quá trình này gọi là liên hợp ma trận $I$ với ma trận $A$.
- Nếu có thể, rút gọn hàng $A$ với $I$ sử dụng các phép tính hàng cơ bản trên toàn ma trận $[A\mid I]$. Kết quả sẽ là ma trận $[I\mid A^{-1}]$. Nếu không thể rút gọn như vậy, khi đó $A$ không khả nghịch (hoặc kì dị).
- Hãy kiểm tra lại bằng cách nhân $AA^{-1}$ và $A^{-1}A$ để thấy rằng $AA^{-1}=I=A^{-1}A$.
3.4. Các tính chất của nghịch đảo
3.4.1. Các tính chất của ma trận nghịch đảo
Nếu $A$ là ma trận khả nghịch, $k$ là số nguyên dương, và $c$ là vô hướng khác không, khi đó $A^{-1}$, $A^k$, $cA$ và $A^T$ đều khả nghịch và ta có các tính chất sau- $(A^{-1})^{-1} = A$
- $(A^k)^{-1} = A^{-1}A^{-1}\cdots A^{-1}= (A^{-1})^k$
- $(cA)^{-1} = \dfrac{1}{c} A^{-1}, c\neq 0$
- $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
3.4.2. Nghịch đảo của tích
Nếu $A$ và $B$ là các ma trận khả nghịch cấp $n$, khi đó ma trận $AB$ khả nghịch và \begin{equation} (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}. \end{equation}Chú ý: Đổi thứ tự phép nhân để tìm nghịch đảo $AB$. Tức là, $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$, và $(AB)^{-1} \neq A^{-1} B^{-1}$.
3.4.3. Các tính chất lược bỏ
Nếu $C$ là ma trận khả nghịch, khi đó nó thỏa các tính chất sau- Nếu $AC=BC$ thì $A=B$. (tính chất lược bỏ phải)
- Nếu $CA=CB$ thì $A=B$. (tính chất lược bỏ trái)
3.5. Hệ phương trình với nghiệm duy nhất
Nếu $A$ là ma trận khả nghịch, khi đó hệ phương trình tuyến tính $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có nghiệm duy nhất được cho bởi \begin{equation} \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. \end{equation}4. Ma trận cơ sở
4.1. Định nghĩa ma trận cơ sở
Ma trận $n\times n$ được gọi là ma trận cơ sở nếu nó có thể thu được từ ma trận đơn vị $I_n$ bằng một phép tính hàng cơ sở.Ví dụ:
+ $\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] $ là ma trận cơ sở. Nó có thể thu được bằng cách nhân hàng hai của $I_3$ với $3$.
+ $\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right] $ là ma trận cơ sở. Nó có thể thu được bằng cách đổi chỗ hàng hai và hàng ba của $I_3$.
+ $\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right] $ là ma trận cơ sở. Nó có thể thu được bằng cách nhân hàng thứ nhất của $I_2$ với $2$ và cộng vào hàng thứ hai.
4.2. Biểu diễn các phép tính hàng cơ sở
Gọi $E$ là ma trận cơ sở thu được bằng cách thực hiện một phép tính hàng lên $I_m$. Nếu phép tính hàng cơ sở giống nhau được thực hiện lên ma trận $A$ cấp $m \times n$ thì ma trận thu được kết quả được cho bởi tích $EA$.4.3. Định nghĩa hàng tương đương
Gọi $A$ và $B$ là các ma trận $m\times n$. Ma trận $B$ tương đương hàng với $A$ nếu tồn tại hữu hạn các ma trận cơ sở $E_1, E_2, \cdots, E_k$ sao cho \begin{equation} B= E_k E_{k-1} \cdots E_2 E_1 A \end{equation}4.4. Các ma trận cơ sở là khả nghịch
Nếu $E$ là ma trận cơ sở thì $E^{-1}$ tồn tại và là một ma trận cơ sở.4.5. Tính chất của ma trận khả nghịch
Ma trận vuông $A$ khả nghịch khi và chỉ khi nó có thể được viết như tích của các ma trận cơ sở.4.6. Các điều kiện tương đương
Nếu $A$ là ma trận $n\times n$, khi đó các phát biểu sau là tương đương- $A$ khả nghịch.
- $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có một nghiệm duy nhất cho mỗi ma trận cột $\mathbf{b}$ cấp $n\times 1$.
- $A\mathbf{x}=O$ chỉ có nghiệm tầm thường.
- $A$ tương đương hàng với $I_n$.
- $A$ có thể được viết như tích của các ma trận cơ sở.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét