Không gian tích trong
\section{Độ dài và tích vô hướng trong $\mathbb{R}^n$}
\subsection{Độ dài}
\subsubsection{Định nghĩa độ dài của một vector trong $\mathbb{R}^n$}
\textbf{Độ dài} hay \textbf{độ lớn} của một vector $\mathbf{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$ trong $\mathbb{R}^n$ được cho bởi
\begin{equation}
\parallel \mathbf{v} \parallel = \sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2} .
\end{equation}
\textbf{Chú ý:} Độ dài của một vector còn được gọi là \textbf{độ chuẩn}. Nếu $\parallel \mathbf{v} \parallel =1$, khi đó vector $\mathbf{v}$ gọi là \textbf{vector đơn vị}.
\subsubsection{Độ dài của nhân vô hướng}
Gọi $\mathbf{v}$ là vector trong $\mathbb{R}^n$ và gọi $c$ là một vô hướng. Khi đó
\begin{equation}
\parallel c \mathbf{v} \parallel = |c| \parallel \mathbf{v} \parallel ,
\end{equation}
trong đó $|c|$ là giá trị tuyệt đối của $c$.
\subsubsection{Vector đơn vị theo hướng của $\mathbf{v}$}
Nếu $\mathbf{v}$ là vector khác không trong $\mathbb{R}^n$, khi đó vector
\begin{equation}
\mathbf{u} =\dfrac{\mathbf{v}}{\parallel\mathbf{v}\parallel}
\end{equation}
có độ dài bằng 1 và cùng hướng với $\mathbf{v}$. Vector $\mathbf{u}$ này được gọi là \textbf{vector đơn vị theo hướng của $\mathbf{v}$}.
\subsection{Khoảng cách giữa hai vector trong $\mathbb{R}^n$}
\textbf{Khoảng cách giữa hai vector} $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ trong $\mathbb{R}^n$ là
\begin{equation}
d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \parallel \mathbf{u} -\mathbf{v} \parallel .
\end{equation}
Ta có thể dễ dàng kiểm chứng ba tính chất về khoảng cách sau
\begin{itemize}
\item $d(\mathbf{u},\mathbf{v}) \geq 0$.
\item $d(\mathbf{u},\mathbf{v}) =0$ khi và chỉ khi $\mathbf{u}=\mathbf{v}$.
\item $d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = d(\mathbf{v},\mathbf{u})$.
\end{itemize}
\textbf{Ví dụ:} Khoảng cách giữa $\mathbf{u}=(0,2,2)$ và $\mathbf{v}=(2,0,1)$ là
\begin{align*}
d(\mathbf{u},\mathbf{v}) &= \parallel \mathbf{u} -\mathbf{v} \parallel =\parallel (0-2,2-0,2-1) \parallel \\
&=\sqrt{(-2)^2+2^2=1^2} = 3
\end{align*}
\subsection{Tích vô hướng và góc giữa hai vector}
\subsubsection{Tích vô hướng trong $\mathbb{R}^n$}
\textbf{Tích vô hướng} (tích chấm) của $\mathbf{u}=(u_1,u_2,\cdots,u_n)$ và $\mathbf{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$ là đại lượng \textit{vô hướng}
\begin{equation}
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \cdots + u_n v_n .
\end{equation}
\textbf{Ví dụ:} Tích vô hướng của $\mathbf{u}=(1,2,0,-3)$ và $\mathbf{v}=(3,-2,4,2)$ là
\begin{align*}
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} =(1)(3)+(2)(-2)+(0)(4)+(-3)(2)=-7
\end{align*}
\subsubsection{Các tính chất của tích vô hướng}
Nếu $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ và $\mathbf{w}$ là các vector trong $\mathbb{R}^n$ và $c$ là vô hướng, khi đó ta có các tính chất sau
\begin{itemize}
\item $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}$.
\item $\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}+\mathbf{w}) = \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} + \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$.
\item $c(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) = (c\mathbf{u})\cdot\mathbf{v} = \mathbf{u}\cdot(c\mathbf{v})$.
\item $\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = \parallel \mathbf{v} \parallel ^2$.
\item $\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} \geq 0$, và $\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = 0$ khi và chỉ khi $\mathbf{v}=\mathbf{0}$.
\end{itemize}
\subsubsection{Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz}
Nếu $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là các vector trong $\mathbb{R}^n$, khi đó
\begin{equation}
|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}| \leq \parallel\mathbf{u}\parallel \parallel\mathbf{v}\parallel ,
\end{equation}
trong đó $|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}| $ kí hiệu cho \textit{giá trị tuyệt đối} của $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$.
\subsubsection{Định nghĩa góc giữa hai vector trong $\mathbb{R}^n$}
\textbf{Góc} $\theta$ giữa hai vector khác không trong $\mathbb{R}^n$ được cho bởi
\begin{equation}
\cos\theta = \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\parallel\mathbf{u}\parallel \parallel\mathbf{v}\parallel} , 0 \leq \theta \leq \pi .
\end{equation}
\subsubsection{Định nghĩa hai vector trực giao}
Hai vector $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ trong $\mathbb{R}^n$ là \textbf{trực giao} (vuông góc) nếu
\begin{equation}
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 0.
\end{equation}
\textbf{Chú ý:} Vector $\mathbf{0}$ là vector trực giao (vuông góc) với tất cả các vector.
\subsubsection{Bất đẳng thức tam giác}
Nếu $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là các vector trong $\mathbb{R}^n$, khi đó
\begin{equation}
\parallel\mathbf{u}+\mathbf{v}\parallel \leq \parallel\mathbf{u}\parallel +\parallel\mathbf{v}\parallel .
\end{equation}
\subsubsection{Định lý Pythagoras}
Nếu $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là các vector trong $\mathbb{R}^n$, khi đó $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là trực giao khi và chỉ khi
\begin{equation}
\parallel\mathbf{u}+\mathbf{v}\parallel ^2 = \parallel\mathbf{u}\parallel ^2 +\parallel\mathbf{v}\parallel ^2.
\end{equation}
\subsection{Tích vô hướng và phép nhân ma trận}
Ta thường biểu diễn vector $\mathbf{u}=(u_1,u_2,\cdots,u_n)$ trong $\mathbb{R}^n$ là một ma trận cột $n\times 1$. Tích vô hướng của hai vector $\mathbf{u} =\left[ \begin{matrix}
u_1 \\ u_2 \\.\\.\\.\\u_n
\end{matrix} \right]$ và $\mathbf{v} =\left[ \begin{matrix}
v_1 \\ v_2 \\.\\.\\.\\v_n
\end{matrix} \right]$ có thể được biểu diễn như tích ma trận của chuyển vị $\mathbf{u}$ nhân với $\mathbf{v}$.
\begin{equation}
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \mathbf{u}^T \mathbf{v} = \left[ \begin{matrix}
u_1 & u_2 &.&.&. & u_n
\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix}
v_1 \\ v_2 \\.\\.\\.\\v_n
\end{matrix} \right] = [u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_n v_n]
\end{equation}
\section{Không gian tích trong}
\subsection{Tích trong}
\subsubsection{Định nghĩa tích trong}
Gọi $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ và $\mathbf{w}$ là các vector trong không gian $V$, và gọi $c$ là vô hướng bất kì. \textbf{Tích trong} trên $V$ là một hàm liên kết với một số thực $\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle$ với mỗi cặp vector $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ và thỏa mãn các tiên đề sau.
\begin{itemize}
\item $\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = \langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle$.
\item $\langle\mathbf{u},\mathbf{v}+\mathbf{w}\rangle = \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle + \langle\mathbf{u},\mathbf{w}\rangle$.
\item $c\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = \langle c\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle$.
\item $\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle \geq 0$, và $\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle =0$ khi và chỉ khi $\mathbf{v}=\mathbf{0}$.
\end{itemize}
\textbf{Chú ý:} Không gian $V$ với tích trong được gọi là \textbf{không gian tích trong}.\\\\
\textbf{Ví dụ:} Chứng tỏ rằng hàm sau xác định một tích trong trên $\mathbb{R}^2$, trong đó $\mathbf{u}=(u_1,u_2)$ và $\mathbf{v}=(v_1,v_2)$.
\begin{align*}
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = u_1 v_1 +2 u_2 v_2.
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
1. Do tích của các số thực có tính chất giao hoán
\begin{align*}
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = u_1v_1+2u_2v_2=v_1u_1+2v_2u_2 = \langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle
\end{align*}
2. Gọi $\mathbf{w}=(w_1,w_2)$. Khi đó
\begin{align*}
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}+\mathbf{w}\rangle &= u_1(v_1+w_1)+2u_2(v_2+w_2) \\
&=u_1v_1+u_1w_1+2u_2v_2+2u_2w_2\\
&=(u_1v_1+2u_2v_2)+(u_1w_1+2u_2w_2)\\
&=\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle \langle\mathbf{u},\mathbf{w}\rangle
\end{align*}
3. Nếu $c$ là vô hướng bất kì, khi đó
\begin{align*}
c\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = c(u_1v_1+2u_2v_2)=(cu_1)v_1+2(cu_2)v_2 = \langle c\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle
\end{align*}
4. Do bình phương số thực không âm
\begin{align*}
\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle = v_1^2+2v_2^2 \geq 0
\end{align*}
Hơn nữa, biểu thức này bằng không khi và chỉ khi $\mathbf{v}=\mathbf{0}$ (tức là, khi và chỉ khi $v_1=v_2=0$).
\\\\
\textbf{Ví dụ:} Gọi $f$ và $g$ là các hàm liên tục có giá trị thực trong không gian vector $C[a,b]$. Chứng tỏ rằng
\begin{align*}
\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) \,dx
\end{align*}
xác định một tích trong trên $C[a,b]$.\\
\textbf{Giải:}\\
Ta có thể sử dụng các tính chất tương tự từ giải tích để kiểm chứng bốn phần của định nghĩa.
\begin{enumerate}
\item \begin{align*}
\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)\,dx = \int_a^b g(x)f(x)\,dx = \langle g,f \rangle
\end{align*}
\item \begin{align*}
\langle f,g+h \rangle &= \int_a^b f(x)[g(x)+h(x)]\,dx = \int_a^b [f(x)g(x)+f(x)h(x)]\,dx \\
&= \int_a^b f(x)g(x)\,dx +\int_a^b f(x)h(x)\,dx \\
&= \langle f,g \rangle + \langle f,h \rangle
\end{align*}
\item \begin{align*}
c\langle f,g \rangle = c\int_a^b f(x)g(x)\,dx = \int_a^b c f(x)g(x)\,dx = \langle cf,g \rangle
\end{align*}
\item Do $[f(x)]^2\geq 0$ với mọi $x$, ta biết từ giải tích là
\begin{align*}
\langle f,f \rangle = \int_a^b [f(x)]^2\,dx \leq 0
\end{align*}
với
\begin{align*}
\langle f,f \rangle = \int_a^b [f(x)]^2\,dx = 0
\end{align*}
khi và chỉ khi $f=0$ trong $C[a,b]$, hoặc nếu $a=b$.
\end{enumerate}
\subsubsection{Các tính chất của tích trong}
Gọi $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ và $\mathbf{w}$ là các vector trong không gian tích trong $V$, và $c$ là số thực bất kì.
\begin{itemize}
\item $\langle\mathbf{0},\mathbf{v}\rangle = \langle\mathbf{v},\mathbf{0}\rangle =0$.
\item $\langle\mathbf{u} + \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle = \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle +\langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle$.
\item $\langle\mathbf{u},c\mathbf{v}\rangle = c\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle$.
\end{itemize}
\subsubsection{Các định nghĩa về độ chuẩn, khoảng cách và góc}
Gọi $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là các vector trong không gian tích trong $V$.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Độ chuẩn} (hoặc \textbf{độ dài}) của $\mathbf{u}$ là
\begin{equation}
\parallel\mathbf{u}\parallel = \sqrt{\langle \mathbf{u},\mathbf{u} \rangle} .
\end{equation}
\item \textbf{Khoảng cách} giữa $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là
\begin{equation}
d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \parallel \mathbf{u} - \mathbf{v} \parallel .
\end{equation}
\item \textbf{Góc} giữa hai vector $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ khác không được cho bởi
\begin{equation}
\cos\theta =\dfrac{\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle}{\parallel\mathbf{u}\parallel \parallel \mathbf{v}\parallel}, 0\leq \theta \leq \pi.
\end{equation}
\item $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ \textbf{trực giao} (vuông góc) nếu
\begin{equation}
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle =0.
\end{equation}
\end{enumerate}
\textbf{Chú ý:} Nếu $ \parallel \mathbf{v}\parallel = 1$, khi đó $\mathbf{v}$ được gọi là \textbf{vector đơn vị}. Hơn nữa, nếu $\mathbf{v}$ là vector khác không bất kì trong không gian tích trong $V$, khi đó vector $\mathbf{u} = \dfrac{\mathbf{v}}{\parallel\mathbf{v}\parallel}$ là một vector đơn vị và được gọi là \textbf{vector đơn vị theo hướng} của $\mathbf{v}$.\\\\
\textbf{Ví dụ:} Cho các đa thức $p=a_0+a_1x +\cdots a_nx^n$ và $q=b_0+b_1x +\cdots b_nx^n$ trong không gian vector $P_n$, hàm
\begin{align*}
\langle p,q \rangle = a_0b_0+a_1b_1+\cdots+a_nb_n
\end{align*}
là một tích trong. Gọi $p(x)=1-2x^2$, $q(x)=4-2x+x^2$, và $r(x)=x+2x^2$ là các đa thức trong $P_2$, và hãy xác định
(a) $\langle p,q \rangle$.
(b) $\langle q,r \rangle$.
(c) $\parallel q \parallel$.
(d) $d(p,q)$.\\
\textbf{Giải:}\\
(a) Tích trong của $p$ và $q$ là
\begin{align*}
\langle p,q \rangle &= a_0b_0+a_1b_1 +a_2 b_2 \\
&= (1)(4)+(0)(-2)+(-2)(1)=2
\end{align*}
(b) Tích trong của $q$ và $r$ là
\begin{align*}
\langle q,r \rangle = (4)(0)+(-2)(1)+(1)(2)=0
\end{align*}
Dễ thấy các vector $q$ và $r$ là trực giao.
(c) Độ chuẩn của $q$ là
\begin{align*}
\parallel q \parallel = \sqrt{\langle q,q \rangle} = \sqrt{4^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{21}
\end{align*}
(d) Khoảng cách giữa $p$ và $q$ là
\begin{align*}
d(p,q) = \parallel p-q \parallel &= \parallel (1-2x^2)-(4-2x+x^2)\parallel \\
&= \parallel -3+2x-3x^2\parallel \\
&=\sqrt{(-3)^2+2^2+(-3)^2} = \sqrt{22}
\end{align*}
\subsubsection{Các định lý}
Gọi $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là các vector trong không gian tích trong $V$.
\begin{itemize}
\item Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
\begin{equation}
|\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle| \leq \parallel \mathbf{u} \parallel \parallel \mathbf{v} \parallel
\end{equation}
\item Bất đẳng thức tam giác
\begin{equation}
\parallel \mathbf{u}+ \mathbf{v} \parallel \leq \parallel \mathbf{u} \parallel + \parallel \mathbf{v} \parallel
\end{equation}
\item Định lý Pythagoras: $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ trực giao khi và chỉ khi
\begin{equation}
\parallel \mathbf{u}+ \mathbf{v} \parallel^2 \leq \parallel \mathbf{u} \parallel^2 + \parallel \mathbf{v} \parallel^2
\end{equation}
\end{itemize}
\subsection{Hình chiếu vuông góc trong không gian tích trong}
\subsubsection{Định nghĩa hình chiếu vuông góc}
Gọi $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là các vector trong không gian tích trong $V$, sao cho $\mathbf{v}\neq \mathbf{0}$. Khi đó, \textbf{hình chiếu vuông góc} của $\mathbf{u}$ lên $\mathbf{v}$ được cho bởi
\begin{equation}
{\rm proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \dfrac{\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\mathbf{v} .
\end{equation}
\textbf{Chú ý:} Nếu $\mathbf{v}$ là vector đơn vị, khi đó $\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = \parallel \mathbf{v} \parallel^2 = 1$, và công thức cho hình chiếu vuông góc của $\mathbf{u}$ lên $\mathbf{v}$ đưa về dạng đơn giản hơn
\begin{equation}
{\rm proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle \mathbf{v} .
\end{equation}
\textbf{Ví dụ:} Sử dụng tích trong Euclid trong $\mathbb{R}^3$ để tìm hình chiếu vuông góc của $\mathbf{u}=(6,2,4)$ lên $\mathbf{v}=(1,2,0)$.\\
\textbf{Giải:}\\
Do $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} =10$ và $\parallel\mathbf{v}\parallel^2 =\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} =5$, hình chiếu vuông góc của $\mathbf{u}$ lên $\mathbf{v}$ là
\begin{align*}
{\rm proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} &= \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\mathbf{v} \\
&= \dfrac{10}{5}(1,2,0)\\
&=2(1,2,0) \\
&=(2,4,0)
\end{align*}
\subsubsection{Hình chiếu vuông góc và khoảng cách}
Gọi $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là các vector trong không gian tích trong $V$, sao cho $\mathbf{v}\neq \mathbf{0}$. Khi đó
\begin{equation}
d(\mathbf{u},{\rm proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} ) < d(\mathbf{u},c\mathbf{v}),\,\, c\neq \dfrac{\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}
\end{equation}
\section{Hệ cơ sở trực chuẩn: Quá trình Gram-Schmidt}
\subsection{Trực chuẩn}
\subsubsection{Định nghĩa tập trực giao và tập trực chuẩn}
Tập các vector $S$ trong không gian tích trong $V$ được gọi là \textbf{trực giao} nếu mỗi cặp của các vector trong $S$ trực giao. Thêm vào đó, nếu mỗi vector trong tập là một vector đơn vị, khi đó $S$ được gọi là \textbf{trực chuẩn}.
\subsubsection{Tập trực giao là độc lập tuyến tính}
Nếu $S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}$ là tập trực giao của các vector \textit{khác không} trong một không gian tích trong $V$, khi đó $S$ là độc lập tuyến tính.
\subsubsection{Hệ quả}
Nếu $V$ là một không gian tích trong $n$ chiều, khi đó bất kì tập trực giao của $n$ vector khác không là một hệ cơ sở cho $V$.
\subsubsection{Các tọa độ đối với một hệ cơ sở trực chuẩn}
Nếu $B = \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}$ là một hệ cơ sở trực chuẩn cho một không gian tích trong $V$, thì khi đó phép biểu diễn tọa độ của vector $\mathbf{w}$ đối với $B$ là
\begin{equation}
\mathbf{w}=\langle \mathbf{w},\mathbf{v}_1 \rangle \mathbf{v}_1+\langle \mathbf{w},\mathbf{v}_2 \rangle \mathbf{v}_2 +\cdots + \langle \mathbf{w},\mathbf{v}_n \rangle \mathbf{v}_n
\end{equation}
\subsection{Quy trình trực chuẩn hóa Gram-Schmidt}
\begin{enumerate}
\item Gọi $B = \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}$ là một hệ cơ sở cho không gian tích trong $V$.
\item Gọi $B' = \{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\cdots,\mathbf{w}_n\}$, trong đó $\mathbf{w}_i$ được cho bởi
\begin{align}
\mathbf{w}_1 &= \mathbf{v}_1 \\
\mathbf{w}_2 &= \mathbf{v}_2 -\dfrac{\langle \mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1 \rangle}{\langle\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1\rangle }\mathbf{w}_1 \\
\mathbf{w}_3 &= \mathbf{v}_3 -\dfrac{\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{w}_1 \rangle}{\langle\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1\rangle }\mathbf{w}_1 - \dfrac{\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{w}_2 \rangle}{\langle\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_2\rangle }\mathbf{w}_2 \\
&\cdot \\
&\cdot \\
&\cdot \\
\mathbf{w}_n &= \mathbf{v}_n -\dfrac{\langle \mathbf{v}_n,\mathbf{w}_1 \rangle}{\langle\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1\rangle }\mathbf{w}_1 - \dfrac{\langle \mathbf{v}_n,\mathbf{w}_2 \rangle}{\langle\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_2\rangle }\mathbf{w}_2 - \cdots - \dfrac{\langle \mathbf{v}_n,\mathbf{w}_{n-1} \rangle}{\langle\mathbf{w}_{n-1},\mathbf{w}_{n-1}\rangle }\mathbf{w}_{n-1}
\end{align}
Khi đó $B'$ là hệ cơ sở \textit{trực giao} cho $V$.
\item Gọi $\mathbf{u}_i = \dfrac{\mathbf{w}_i}{\parallel \mathbf{w}_i \parallel}$. Khi đó tập $B'' = \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_n\}$ là một hệ cơ sở \textit{trực chuẩn} cho $V$. Hơn nữa, hệ sinh $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_k\} = {\rm span} \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_k\}$ với $k=1,2,\cdots,n$.
\end{enumerate}
\textbf{Ví dụ:} Áp dụng quy trình trực chuẩn hóa Gram-Schmidt cho cơ sở $\mathbb{R}^3$ dưới đây
\begin{align*}
B=\{(1,1,0),(1,2,0),(0,1,2)\}
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Áp dụng quy trình trực chuẩn hóa Gram-Schmidt, ta có
\begin{align*}
\mathbf{w}_1 &= \mathbf{v}_1 =(1,1,0) \\
\mathbf{w}_2 &= \mathbf{v}_2 -\dfrac{\langle \mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1 \rangle}{\langle\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1\rangle }\mathbf{w}_1 =(1,2,0)-\dfrac{3}{2}(1,1,0)=\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right)\\
\mathbf{w}_3 &= \mathbf{v}_3 -\dfrac{\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{w}_1 \rangle}{\langle\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1\rangle }\mathbf{w}_1 - \dfrac{\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{w}_2 \rangle}{\langle\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_2\rangle }\mathbf{w}_2 \\
&=(0,1,2)-\dfrac{1}{2}(1,1,0) - \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right) = (0,0,2)
\end{align*}
Tập $B'=\{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3\}$ là một hệ cơ sở trực giao cho $\mathbb{R}^3$. Chuẩn hóa mỗi vector trong $B'$ ta có
\begin{align*}
\mathbf{u}_1 &= \dfrac{\mathbf{w}_1}{\parallel \mathbf{w}_1 \parallel} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0) = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2},0\right) \\
\mathbf{u}_2 &= \dfrac{\mathbf{w}_2}{\parallel \mathbf{w}_2 \parallel} = \dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right) = \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2},0\right) \\
\mathbf{u}_3 &= \dfrac{\mathbf{w}_3}{\parallel \mathbf{w}_3 \parallel} = \dfrac{1}{2}(0,0,2)=(0,0,1)
\end{align*}
Do đó, $B''=\{ \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3 \}$ là hệ cơ sở trực chuẩn cho $\mathbb{R}^3$.\\
\textbf{Ví dụ:} Áp dụng quy trình trực chuẩn hóa Gram-Schmidt cho cơ sở $B=\{1,x,x^2\}$ trong $P_2$ sử dụng tích trong
\begin{align*}
\langle p,q \rangle = \int_{-1}^1 p(x)q(x)\,dx
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Đặt $B=\{1,x,x^2\}=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}$. Khi đó ta có
\begin{align*}
\mathbf{w}_1 &= \mathbf{v}_1 =1 \\
\mathbf{w}_2 &= \mathbf{v}_2 -\dfrac{\langle \mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1 \rangle}{\langle\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1\rangle }\mathbf{w}_1 =x-\dfrac{0}{2}(1)=x\\
\mathbf{w}_3 &= \mathbf{v}_3 -\dfrac{\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{w}_1 \rangle}{\langle\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1\rangle }\mathbf{w}_1 - \dfrac{\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{w}_2 \rangle}{\langle\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_2\rangle }\mathbf{w}_2 \\
&=x^2-\dfrac{\frac{2}{3}}{2}(1)-\dfrac{0}{\frac{2}{3}}(x) = x^2-\dfrac{1}{3}
\end{align*}
Chuẩn hóa $B'=\{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3\}$, ta có
\begin{align*}
\mathbf{u}_1 &= \dfrac{\mathbf{w}_1}{\parallel \mathbf{w}_1 \parallel} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\mathbf{u}_2 &= \dfrac{\mathbf{w}_2}{\parallel \mathbf{w}_2 \parallel} = \dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} x \\
\mathbf{u}_3 &= \dfrac{\mathbf{w}_3}{\parallel \mathbf{w}_3 \parallel} = \dfrac{1}{\sqrt{\frac{8}{45}}}\left(x^2-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} (3x^2-1)
\end{align*}
\textbf{Chú ý:} Các đa thức $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$ và $\mathbf{u}_3$ ở ví dụ trên được gọi là ba số hạng đầu tiên của \textbf{đa thức Legendre chuẩn hóa}.
\section{Các mô hình toán học và phân tích bình phương tối thiểu}
\subsection{Không gian con trực giao}
\subsubsection{Định nghĩa không gian con trực giao}
Không gian con $S_1$ và $S_2$ của $\mathbb{R}^n$ \textbf{trực giao} nếu $\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=0$ với mọi $\mathbf{v}_1$ trong $S_1$ và $\mathbf{v}_2$ trong $S_2$.
\subsubsection{Định nghĩa phần bù trực giao}
Nếu $S$ là không gian con của $\mathbb{R}^n$, khi đó \textbf{phần bù trực giao} của $S$ là tập
\begin{equation}
S^{\perp} = \{\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{v}\cdot\mathbf{u} = 0 \text{ với mọi vector } \mathbf{v} \in S \}
\end{equation}
\subsubsection{Định nghĩa tổng trực tiếp}
Cho $S_1$ và $S_2$ là hai không gian con của $\mathbb{R}^n$. Nếu mỗi vector $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$ có thể được viết duy nhất như tổng của vector $\mathbf{s}_1$ từ $S_1$ và vector $\mathbf{s}_2$ từ $S_2$, $\mathbf{x}=\mathbf{s}_1+\mathbf{s}_2$, khi đó $\mathbb{R}^n$ là \textbf{tổng trực tiếp} của $S_1$ và $S_2$, và ta có thể viết $\mathbb{R}^n = S_1 \oplus S_2$.
\subsubsection{Các tính chất của không gian con trực giao}
Gọi $S$ là không gian con của $\mathbb{R}^n$. Khi đó ta có các tính chất sau
\begin{enumerate}
\item $\dim (S) + \dim(S^{\perp}) = n$.
\item $\mathbb{R}^n = S \oplus S^{\perp}$.
\item $(S^{\perp})^\perp = S$.
\end{enumerate}
\subsubsection{Phép chiếu lên một không gian con}
Nếu $\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_t\}$ là cơ sở trực chuẩn cho không gian con $S$ của $\mathbb{R}^n$, và $\mathbf{v}\in \mathbb{R}^n$, khi đó
\begin{equation}
{\rm proj}_S \mathbf{v} = (\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_1)\mathbf{u}_1 + (\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_2)\mathbf{u}_2 + \cdots + (\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_t)\mathbf{u}_t
\end{equation}
\subsubsection{Phép chiếu trực giao và khoảng cách}
Gọi $S$ là không gian con của $\mathbb{R}^n$ và cho $\mathbf{v}\in \mathbb{R}^n$. Khi đó, với mọi $\mathbf{u}\in S$, $\mathbf{u} \neq {\rm proj}_S \mathbf{v}$,
\begin{equation}
\parallel \mathbf{v} - {\rm proj}_S \mathbf{v} \parallel < \parallel \mathbf{v} - \mathbf{u} \parallel
\end{equation}
\subsection{Không gian con cơ bản của một ma trận}
Nếu $A$ là ma trận cấp $m\times n$, khi đó
\begin{enumerate}
\item $R(A)$ và $N(A^T)$ là các không gian con trực giao của $\mathbb{R}^m$.
\item $R(A^T)$ và $N(A)$ là các không gian con trực giao của $\mathbb{R}^n$.
\item $R(A) \oplus N(A^T) = \mathbb{R}^m$.
\item $R(A^T) \oplus N(A) = \mathbb{R}^n$.
\end{enumerate}
\subsection{Bình phương tối thiểu}
Cho ma trận $A$ cấp $m\times n$ và vector $\mathbf{b}$ trong $\mathbb{R}^m$, \textbf{bài toán bình phương tối thiểu} là tìm $\mathbf{x}$ trong $\mathbb{R}^n$ sao cho $\parallel A \mathbf{x} - \mathbf{b} \parallel^2$ nhỏ nhất.\\
\textbf{Ví dụ:} Tìm nghiệm của bài toán bình phương tối thiểu
\begin{align*}
A \mathbf{x} &=\mathbf{b} \\
\left[ \begin{matrix}
1&1\\
1&2\\
1&3
\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix}
c_0 \\
c_1
\end{matrix} \right] &= \left[ \begin{matrix}
0 \\
1 \\
3
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Bắt đầu bằng việc tính các tích ma trận dưới đây
\begin{align*}
A^T A &=\left[ \begin{matrix}
1&1&1\\
1&2&3
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
1&1\\
1&2\\
1&3
\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}
3&6\\
6&14
\end{matrix} \right] \\
A^T\mathbf{b} &= \left[ \begin{matrix}
1&1&1\\
1&2&3
\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix}
0\\
1\\
3
\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}
4\\
11
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Phương trình chuẩn là
\begin{align*}
A^T A\mathbf{x} &= A^T \mathbf{b}\\
\left[ \begin{matrix}
3&6\\
6&14
\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix}
c_0\\
c_1
\end{matrix} \right] &=\left[ \begin{matrix}
4\\
11
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Nghiệm của hệ phương trình này là $\mathbf{x} = \left[ \begin{matrix}
-\frac{5}{3}\\
\frac{3}{2}
\end{matrix} \right]$ suy ra đường hồi quy bình phương tối thiểu cho dữ liệu là $y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{5}{3}$.\\
\textbf{Ví dụ:} TÌm hình chiếu vuông góc của vector $\mathbf{b}=\left[ \begin{matrix}
1\\
1\\
3
\end{matrix} \right]$ lên không gian cột $S$ của ma trận
\begin{align*}
A = \left[ \begin{matrix}
0&2\\
3&0\\
1&0
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Để tìm hình chiếu của $\mathbf{b}$ lên $S$, đầu tiên giải bài toán bình phương tối thiểu $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$. Tính các tích ma trận $A^T A$ và $A^T \mathbf{b}$.
\begin{align*}
A^T A &=\left[ \begin{matrix}
0&3&1\\
2&0&0
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
0&2\\
3&0\\
1&0
\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}
10&0\\
0&4
\end{matrix} \right] \\
A^T\mathbf{b} &= \left[ \begin{matrix}
0&3&1\\
2&0&0
\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix}
1\\
1\\
3
\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}
6\\
2
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Phương trình chuẩn là
\begin{align*}
A^T A\mathbf{x} &= A^T \mathbf{b}\\
\left[ \begin{matrix}
10&0\\
0&4
\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix}
x_1\\
x_2
\end{matrix} \right] &=\left[ \begin{matrix}
6\\
2
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Nghiệm của hệ phương trình này là
\begin{align*}
\mathbf{x} = \left[ \begin{matrix}
x_1\\
x_2
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
\frac{3}{5}\\
\frac{1}{2}
\end{matrix} \right]
\end{align*}
Cuối cùng, hình chiếu của $\mathbf{b}$ lên $S$ là
\begin{align*}
A\mathbf{x} = \left[ \begin{matrix}
0&2\\
3&0\\
1&0
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
\frac{3}{5}\\
\frac{1}{2}
\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}
1\\
\frac{9}{5}\\
\frac{3}{5}
\end{matrix} \right]
\end{align*}
\subsection{Mô hình toán học}
\section{Ứng dụng của không gian tích trong}
\subsection{Tích hữu hướng của hai vector trong không gian}
\subsubsection{Định nghĩa}
Gọi $\mathbf{u} = u_1 \mathbf{i}+u_2 \mathbf{j}+u_3 \mathbf{k}$ và $\mathbf{v} = v_1 \mathbf{i}+v_2 \mathbf{j}+v_3 \mathbf{k}$ là các vector trong $\mathbb{R}^3$. \textbf{Tích hữu hướng} (tích chéo) của $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là vector
\begin{equation}
\mathbf{u}\times \mathbf{v} = (u_2v_3-u_3v_2)\mathbf{i} - (u_1v_3-u_3v_1)\mathbf{j} + (u_1v_2-u_2v_1)\mathbf{k}
\end{equation}
Một cách thuận tiện cho việc ghi nhớ công thức tích hữu hướng $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ là sử dụng dạng định thức dưới đây
\begin{equation}
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \left| \begin{matrix}
\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
u_1&u_2&u_3\\
v_1&v_2&v_3
\end{matrix} \right|
\end{equation}
\textbf{Ví dụ:} Cho $\mathbf{u}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}$ và $\mathbf{v}=3\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}$, tìm
(a) $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$.
(b) $\mathbf{v}\times\mathbf{u}$.
(c) $\mathbf{v}\times\mathbf{v}$.\\
\textbf{Giải:}\\
(a) \begin{align*}
\mathbf{u}\times\mathbf{v} &= \left| \begin{matrix}
\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
1&-2&1\\
3&1&-2
\end{matrix} \right| \\
&= \left| \begin{matrix}
-2&1\\
1&-2
\end{matrix} \right|\mathbf{i} -\left| \begin{matrix}
1&1\\
3&-2
\end{matrix} \right|\mathbf{j}+\left| \begin{matrix}
1&-2\\
3&1
\end{matrix} \right|\mathbf{k}\\
&=3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+7\mathbf{k}
\end{align*}
(b) \begin{align*}
\mathbf{v}\times\mathbf{u} &= \left| \begin{matrix}
\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
3&1&-2\\
1&-2&1
\end{matrix} \right| \\
&= \left| \begin{matrix}
1&-2\\
-2&1
\end{matrix} \right|\mathbf{i} -\left| \begin{matrix}
3&-2\\
1&1
\end{matrix} \right|\mathbf{j}+\left| \begin{matrix}
3&1\\
1&-2
\end{matrix} \right|\mathbf{k}\\
&=-3\mathbf{i}-5\mathbf{j}-7\mathbf{k}
\end{align*}
Kết quả này ngược dấu với câu (a).
(c) \begin{align*}
\mathbf{v}\times\mathbf{v} &= \left| \begin{matrix}
\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
3&1&-2\\
3&1&-2
\end{matrix} \right| \\
&= \left| \begin{matrix}
1&-2\\
1&-2
\end{matrix} \right|\mathbf{i} -\left| \begin{matrix}
3&-2\\
3&-2
\end{matrix} \right|\mathbf{j}+\left| \begin{matrix}
3&1\\
3&1
\end{matrix} \right|\mathbf{k}\\
&=0\mathbf{i}+0\mathbf{j}+0\mathbf{k} = \mathbf{0}
\end{align*}
\subsubsection{Tính chất đại số}
Nếu $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ và $\mathbf{w}$ là các vector trong $\mathbb{R}^3$ và $c$ là đại lượng vô hướng, khi đó ta có các tính chất sau
\begin{enumerate}
\item $\mathbf{u}\times \mathbf{v} = -(\mathbf{v}\times\mathbf{u})$.
\item $\mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = (\mathbf{u}\times \mathbf{v})+(\mathbf{u}\times \mathbf{w})$.
\item $c(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) = c\mathbf{u}\times \mathbf{v} = \mathbf{u}\times c\mathbf{v}$.
\item $\mathbf{u}\times \mathbf{0} = \mathbf{0} \times \mathbf{u} = \mathbf{0}$.
\item $\mathbf{u}\times \mathbf{u} = \mathbf{0}$.
\item $\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}\times \mathbf{w})=(\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{w}$.
\end{enumerate}
\subsubsection{Tính chất hình học}
Nếu $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là các vector khác không trong $\mathbb{R}^3$, khi đó ta có các tính chất sau
\begin{enumerate}
\item $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ trực giao với cả $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$.
\item Góc $\theta$ giữa $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ được cho bởi
\begin{equation}
\parallel \mathbf{u}\times \mathbf{v}\parallel = \parallel \mathbf{u} \parallel \parallel \mathbf{v}\parallel \sin\theta
\end{equation}
\item $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ song song khi và chỉ khi $\mathbf{u}\times \mathbf{v} = \mathbf{0}$.
\item Hình bình hành có $\mathbf{u}$ và $\mathbf{u}$ là các cạnh kề nhau có diện tích là $\parallel \mathbf{u}\times \mathbf{v}\parallel$.
\end{enumerate}
\textbf{Ví dụ:} Tìm một vector đơn vị vuông góc với cả $\mathbf{u}=3\mathbf{i}-4\mathbf{j}+\mathbf{k}$ và $\mathbf{v}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}$.\\
\textbf{Giải:}\\
Tích hữu hướng
\begin{align*}
\mathbf{v}\times\mathbf{v} &= \left| \begin{matrix}
\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
1&-4&1\\
2&3&0
\end{matrix} \right| = -3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+11\mathbf{k}
\end{align*}
trực giao với cả $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$. Khi đó, bằng cách chia cho độ dài $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$
\begin{align*}
\parallel \mathbf{u}\times \mathbf{v}\parallel =\sqrt{(-3)^2+2^2+11^2} = \sqrt{134}
\end{align*}
ta thu được vector đơn vị
\begin{align*}
\dfrac{ \mathbf{u}\times \mathbf{v}}{\parallel \mathbf{u}\times \mathbf{v}\parallel} = -\dfrac{3}{\sqrt{134}}\mathbf{i}+\dfrac{2}{\sqrt{134}}\mathbf{j}+\dfrac{11}{\sqrt{134}}\mathbf{k}
\end{align*}
trực giao với cả $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ như sau
\begin{align*}
\left(-\dfrac{3}{\sqrt{134}},\dfrac{2}{\sqrt{134}},\dfrac{11}{\sqrt{134}}\right)\cdot (1,-4,1) &= 0 \\
\left(-\dfrac{3}{\sqrt{134}},\dfrac{2}{\sqrt{134}},\dfrac{11}{\sqrt{134}}\right)\cdot (2,3,0) &= 0
\end{align*}
\textbf{Ví dụ:} Tính diện tích hình bình hành có $\mathbf{u}=-3\mathbf{i}+4\mathbf{j}+\mathbf{k}$ và $\mathbf{v}=-2\mathbf{i}+6\mathbf{j}$ là các cạnh kề nhau.\\
\textbf{Giải:}\\
Diện tích hình bình hành là $\parallel \mathbf{u}\times \mathbf{v}\parallel $. Bởi vì
\begin{align*}
\mathbf{v}\times\mathbf{v} &= \left| \begin{matrix}
\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
-3&4&1\\
0&-2&6
\end{matrix} \right| = 26\mathbf{i}+18\mathbf{j}+6\mathbf{k}
\end{align*}
diện tích hình bình hành là
\begin{align*}
\parallel \mathbf{u}\times \mathbf{v}\parallel = \sqrt{26^2+18^2+6^2} = \sqrt{1036} \approx 32.19
\end{align*}
\subsection{Gần đúng bình phương tối thiểu (Giải tích)}
\subsubsection{Định nghĩa}
Cho $f$ liên tục trên $[a,b]$, và cho $W$ là không gian con của $C[a,b]$. Hàm $g$ trong $W$ được gọi là \textbf{gần đúng bình phương tối thiểu} của $f$ đối với $W$ nếu giá trị
\begin{equation}
I=\int_a^b \left[ f(x)-g(x) \right]^2 dx
\end{equation}
nhỏ nhất với mọi hàm khác trong $W$.\\
\textbf{Ví dụ:} Tìm gần đúng bình phương tối thiểu $g(x)=a_0+a_1x$ với
\begin{align*}
f(x)=e^x, 0\leq x \leq 1
\end{align*}
\textbf{Giải:}\\
Với gần đúng này, ta cần tìm các hằng số $a_0$ và $a_1$ để cực tiểu giá trị
\begin{align*}
I &=\int_0^1 \left[ f(x)-g(x) \right]^2 dx \\
&= \int_0^1 \left( e^x-a_0-a_1 x \right)^2 dx
\end{align*}
Tính tích phân này, ta có
\begin{align*}
I &= \int_0^1 \left( e^x-a_0-a_1 x \right)^2 dx \\
&= \int_0^1 \left( e^{2x}-2a_0e^x-2a_1 xe^x + a_0^2+2a_0a_1x+a_1^2x^2 \right) dx \\
&= \left[\dfrac{1}{2} e^{2x}-2a_0e^x-2a_1 e^x(x-1) + a_0^2x+a_0a_1x^2+a_1^2\dfrac{x^3}{3} \right]^1_0 \\
&=\dfrac{1}{2}\left(e^2-1\right) - 2a_0(e-1)-2a_1+a_0^2+a_0a_1+\dfrac{1}{3}a_1^2
\end{align*}
Xét $I$ là hàm theo các biến $a_0$ và $a_1$, sử dụng giải tích để xác định các giá trị $a_0$ và $a_1$ để cực tiểu $I$. Cụ thể, cho các đạo hàm riêng
\begin{align*}
\dfrac{\partial I}{\partial a_0} &= 2a_0-2e+2+a_1\\
\dfrac{\partial I}{\partial a_1} &= a_0+\dfrac{2}{3}a_1-2
\end{align*}
bằng không, ta thu được hệ hai phương trình tuyến tính theo $a_0$ và $a_1$
\begin{align*}
2a_0+a_1 &=2(e-1)\\
3a_0+2a_1 &=6
\end{align*}
Nghiệm của hệ này là
\begin{align*}
a_0 &= 4e-10 \approx 0.873 \\
a_1 &= 18-6e \approx 1.690
\end{align*}
Do đó, \textit{gần đúng tuyến tính} tốt nhất của $f(x)=e^x$ trên đoạn $[0,1]$ là
\begin{align*}
g(x) &=4e-10+(18-6e)x\\
&\approx 0.873+1.690 x
\end{align*}
\subsubsection{Gần đúng bình phương tối thiểu}
Cho $f$ liên tục trên $[a,b]$, và cho $W$ là không gian con hữu hạn chiều của $C[a,b]$. Hàm gần đúng bình phương tối thiểu $f$ đối với $W$ được cho bởi
\begin{equation}
g=\langle f,\mathbf{w}_1 \rangle \mathbf{w}_1+\langle f,\mathbf{w}_2 \rangle \mathbf{w}_2 + \cdots + \langle f,\mathbf{w}_n \rangle \mathbf{w}_n
\end{equation}
trong đó $B=\{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\cdots,\mathbf{w}_n\}$ là cơ sở trực chuẩn cho $W$.\\
\textbf{Ví dụ:} Tìm gần đúng bình phương tối thiểu cho $f(x)=\sin x$, $0\leq x \leq\pi$, đối với không gian con $W$ của hàm bậc hai.\\
\textbf{Giải:}\\
Áp dụng quy trình trực chuẩn hóa cho cơ sở chuẩn của $W$, $\{1,x,x^2\}$, thu được cơ sở trực chuẩn
\begin{align*}
B &= \{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3\} \\
&= \left\{ \dfrac{1}{\sqrt{\pi}},\dfrac{\sqrt{3}}{\pi\sqrt{\pi}}(2x-\pi), \dfrac{\sqrt{5}}{\pi^2\sqrt{\pi}}(6x^2-6\pi x+\pi^2) \right\}
\end{align*}
Hàm $g$ theo gần đúng bình phương tối thiểu là
\begin{align*}
g(x) = \langle f,\mathbf{w}_1 \rangle \mathbf{w}_1+\langle f,\mathbf{w}_2 \rangle \mathbf{w}_2 + \langle f,\mathbf{w}_3 \rangle \mathbf{w}_3
\end{align*}
và ta có
\begin{align*}
\langle f,\mathbf{w}_1 \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^\pi \sin x dx = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \\
\langle f,\mathbf{w}_2 \rangle &= \dfrac{\sqrt{3}}{\pi\sqrt{\pi}} \int_0^\pi \sin x (2x-\pi) dx = 0 \\
\langle f,\mathbf{w}_3 \rangle &= \dfrac{\sqrt{5}}{\pi^2\sqrt{\pi}} \int_0^\pi \sin x (6x^2-6\pi x+\pi^2) dx = \dfrac{2\sqrt{5}}{\pi^2\sqrt{\pi}} (\pi^2-12)
\end{align*}
Do đó, $g$ là
\begin{align*}
g(x)&= \dfrac{2}{\pi} + \dfrac{10(\pi^2-12)}{\pi^5} (6x^2-6\pi x+\pi^2) \\
&\approx -0.4177 x^2 + 1.3122 x - 0.0505
\end{align*}
\subsubsection{Gần đúng Fourier}
Trên khoảng $[0,2\pi]$, gần đúng bình phương tối thiểu của hàm liên tục $f$ đối với không gian vector được sinh bởi $\{1,\cos x, \cdots,\cos nx,\sin x, \cdots,\sin nx \}$ được cho bởi
\begin{equation}
g(x) = \dfrac{a_0}{2} + a_1\cos x + \cdots + a_n \cos nx + b_1 \sin x+ \cdots + b_n \sin nx
\end{equation}
trong đó các \textbf{hệ số Fourier} $a_0,a_1,\cdots,a_n,b_1,\cdots,b_n$ là
\begin{align}
a_0 &= \dfrac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) dx \\
a_j &= \dfrac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \cos jx dx , j=1,2,\cdots,n \\
b_j &= \dfrac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \sin jx dx , j=1,2,\cdots,n
\end{align}
\textbf{Ví dụ:} TÌm gần đúng bậc ba Fourier của $f(x)=x$, $0 \leq x \leq 2\pi$.\\
\textbf{Giải:}\\
Ta có
\begin{align*}
g(x) = \dfrac{a_0}{2}+a_1\cos x +a_2 \cos 2x +a_3 \cos 3x + b_1\sin x +b_2 \sin 2x +b_3 \sin 3x
\end{align*}
trong đó
\begin{align*}
a_0 &= \dfrac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} x dx = \dfrac{1}{\pi} 2\pi^2 =2\pi \\
a_j &= \dfrac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} x \cos jx dx = \left[ \dfrac{1}{\pi j^2} \cos jx + \dfrac{x}{\pi j} \sin jx \right]^{2\pi}_0 = 0 \\
b_j &= \dfrac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} x \sin jx dx = \left[ \dfrac{1}{\pi j^2} \sin jx - \dfrac{x}{\pi j} \cos jx \right]^{2\pi}_0 = -\dfrac{2}{j}
\end{align*}
Suy ra $a_0 = 2\pi$, $a_1=0$, $a_2=0$, $a_3=0$, $b_1=-2$, $b_2=-1$, và $b_3 = -\dfrac{2}{3}$. Do đó, ta có
\begin{align*}
g(x) &= \dfrac{2\pi}{\pi} -2\sin x-\sin 2x -\dfrac{2}{3}\sin 3x \\
&=\pi -2\sin x-sin 2x-\dfrac{2}{3}\sin 3x
\end{align*}
Đăng ký:
Nhận xét (Atom)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét